Idéal fractionnaire principal

noradan

Dans $K={\Bbb Q}[\sqrt2,\sqrt{11}]$ on a ${\cal O}_K=[1,\sqrt2,\sqrt{11},\alpha]$ avec  $\alpha={\sqrt2(1+\sqrt{11})\over2}$
On a également $<2>={\frak p}^4$ avec ${\frak p}=\,<2,\alpha-1>\,=[2,\sqrt2,\sqrt{11}+1,\alpha-1]$ comme $\Bbb Z$ module.
Sauf que $h=1$ et donc $\frak p$ est en fait principal.
Comment obtenir un générateur ?

À tout hasard j'ai calculé ${\frak p}^2=[2,\sqrt2,\sqrt{11}+1,2\alpha]=\sqrt2([1,\sqrt2]+\alpha[1,\sqrt2])$ je ne sais pas si ça sert.

aurelpage0

Salut

En général, une bonne idée est de fabriquer plein de petits éléments du corps (en prenant des combinaisons linéaires à petits coefficients de ta base d'entiers), de décomposer en produit d'idéaux premiers les idéaux engendrés par ces petits éléments, puis de les combiner pour trouver un générateur de l'idéal qui t'intéresse. C'est, dans les grandes lignes, la méthode utilisée par les meilleurs algorithmes, et ça marche assez bien à la main sur les petits exemples.

Amicalement,

Aurel

noradan

J'ai un peu travaillé
D'abord $\let\a\alpha N(\a-3)=2$ donc en fait $\frak p=<\a-3>$ ce que j'ai vérifié avec un calcul d'idéal.
Ensuite je me suis penché sur 5 qui divise $\def\Z{{\Bbb Z}}\def\O{{\cal O}}[\O_K:\Z[\a]$ pour lequel le théorème classique ne s'applique pas et qui me posait des problèmes métaphysiques du fait de l'écriture du polynôme minimal de $\a$: $X²(X²-2)$. En fait à la suite d'une faute d'étourderie j'ai trouvé : $\let\r\sqrt 5=\a(\a-\r2)$.
Restait à prouver que par exemple $\a$ est premier. J'avais déjà trouvé $<\a>=[5,5\r2,1+\r{11},\a]$; je n'ai rien trouvé de mieux que d'examiner le quotient qui est immédiat : $\let\f\frac \O_K/<\a>\simeq\f\Z{5\Z}[\r2]$ qui est bien un corps et en plus j'ai $f=2$ ce que je ne trouve pas sans intéret puisqu'on a un polynôme de degré 1 en $\a$ qui engendre un idéal premier de degré 2 à la différence de beaucoup d'exemples de la littérature.
En plus $\a-\r2=\sigma(\a)$ où $\sigma$ désigne la conjugaison de $\r{11}$.
(Je m'étonne toujours que les ouvrages et poly de cours trouvables sur la toile ne s'intéressent que très rarement à un exemple de ce genre et se limite presque toujours aux extensions quadratiques dans lesquels beaucoup de phénomènes dégénèrent).
En réfléchissant j'ai bien sûr trouvé plus malin. Il est clair que $\def\Q{{\Bbb Q}}<\a>\cap\Q[\r2]=5\Z[\r2]$ or 5 est inerte dans $\Q[\r2]$ donc $<\a>$ est bien premier et son degré de ramification vaut 1 sur $\Q[\r2]$. Et j'ai enfin un exemple concret d'utilisation d'une norme relative
Ceci explique aussi pourquoi numériquement, mes tentatives avec python ne me donnaient que des normes divisibles par 25.

Je ne trouve vraiment pas sans intéret pour un débutant comme moi de mettre les mains concrètement dans le moteur. Evidemment c'est moins prestigieux que de faire de beaux raisonnements idéliques mais je ne trouve pas ça dénué d'intérets. Et au moins, les calculs c'est à la porté de tout le monde !