Intégrale inégalité du jeudi soir
Bonjour
$E$ l’ensemble $f$ fonctions de classe $C^2$ de [0;1] dans $R$ avec $f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0$.
$E$ l’ensemble $f$ fonctions de classe $C^2$ de [0;1] dans $R$ avec $f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0$.
Montrer qu’il existe une constante $k>0$ telle que pour tout $f \in E$ on a
$$\int_{0}^{1}f^2(x) dx \leq k\int_{0}^{1} f’’^2(x) dx.$$
Trouver la meilleure constante $k>0$.
$$\int_{0}^{1}f^2(x) dx \leq k\int_{0}^{1} f’’^2(x) dx.$$
Trouver la meilleure constante $k>0$.
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Réponses
\[\int_0^1 f(t)^2 dt \leq \dfrac{1}{32} \int_0^1 f’’(t)^2 dt.\]
- pour toute suite réelle $(a_n)_{n\in\Bbb N^*}$ telle que $(n^2a_n)\in \ell^2$, $$\sum_{n=1}^\infty a_n ^2 +2\bigg(\sum_{n=1}^\infty a_n \bigg)^2 \leqslant k(2\pi )^4 \sum_{n=1}^\infty n^4 a_n^2$$
- et pour toute suite réelle $(b_n)_{n\in\Bbb N^*}$ telle que $(n^2b_n)\in \ell^2$ et $\sum\limits_{n=1}^\infty nb_n =0$, $$\sum_{n=1}^\infty b_n ^2 \leqslant k(2\pi )^4 \sum_{n=1}^\infty n^4 b_n^2.$$
Ici $a_n$ représente $ \int_{0} ^{1} f(x)\cos(2\pi nx) \,\mathrm{d}x$ et $b_n =\int_{0} ^{1} f(x)\sin(2\pi nx) \,\mathrm{d}x$.Mais je ne sais pas comment résoudre ça. Je sais juste que $k$ est le max entre la constante optimale du problème sur $(a_n)$ et de celle pour $(b_n)$. Donc je ne sais pas si on est mieux avancé avec ça.
Edit : Désolé, j'ai plusieurs fois modifié ce message et le suivant de façon non négligeable durant les dernières 20 minutes. J'en ai fini, normalement. (20/05, 22h05)
Pour toute fonction $g$, je note $c_{n} (g)= \int_{0} ^{1} g(x)e^{-2\mathrm{i}\pi nx} \,\mathrm{d}x$ ses coefficients de Fourier, et j'abrège $c_{n} := c_{n} (f)$. Comme $f(0)=f(1)$, $f$ peut être vue comme une fonction 1-périodique et continue sur $\mathbb{R}$. Et comme $f'(0)=f'(1)$, $f$ est $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$. Donc $(2\mathrm{i}\pi nc_{n} )=(c_{n} (f'))\in \ell ^2 (\mathbb{N})$. De même, le prolongement 1-périodique de $f'$ est continu et dérivable au sens faible, donc $((2\mathrm{i}\pi n)^2 c_{n} )=(c_{n} (f''))\in \ell ^2 $.
Ensuite $0=f(0) = \sum\limits _{n\in \mathbb{Z}} c_{n} e^{-2\mathrm{i}\pi n\cdot 0} = \sum\limits _{n\in \mathbb{Z}} c_{n}$, et de même $f'(0)=0$ implique $\sum\limits _{n\in \mathbb{Z}} nc_{n} =0$.
Donc, par Parseval, en notant $a_{n} =\operatorname{Re}(c_{n} )$ et $b_{n} = \operatorname{Im}(c_{n} )$, on a : \[\begin{array}{rclcrcl} \displaystyle \int _{0} ^{1} f^2 &=&\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}} |c_{n} |^2 = \sum _{n\in \mathbb{Z}^*} |c_{n} |^2 +\left| \sum _{n\in \mathbb{Z}^*} c_{n} \right|^2 & \quad\quad \text{ et } \quad\quad &\displaystyle \int _{0} ^{1} f''^2 &=&\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}} (2\pi n)^4 |c_{n} |^2 \\[2mm] &=&\displaystyle 2 \sum _{n\in \mathbb{N}^*} (a_{n} ^2 +b_{n} ^2 ) +\bigg( 2 \sum _{n\in \mathbb{N}^*} a_{n} \bigg)^2 && &=&\displaystyle 2 \sum _{n\in \mathbb{N}^*} (2\pi n)^4 (a_{n} ^2 +b_{n} ^2 ) \end{array}\] car, $f$ étant à valeurs réelles, $c_{-n} = \overline{c_{n} }$.
Ainsi, on s'est ramené à trouver la plus petite constante $k>0$ telle que, pour toutes suites $(a_{n} ),(b_{n} )\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}^*}$ telles que $(n^2 a_{n} )\in \ell ^2 $, $(n^2 b_{n} )\in \ell ^2 $ et $\sum\limits _{n\in \mathbb{N}^*} nb_{n} = 0$, \[ \sum _{n\in \mathbb{N}^*} (a_{n} ^2 +b_{n} ^2 ) +2\bigg( \sum _{n\in \mathbb{N}^*} a_{n} \bigg)^2 \leqslant k(2\pi )^4 \sum _{n\in \mathbb{N}^*} n^{4} (a_{n} ^2 +b_{n} ^2 ).\] Mais on a en fait deux problèmes indépendants, l'un sur $(a_{n} )$ et l'autre sur $(b_{n} )$. Donc on peut les séparer, comme j'ai fait dans mon message précédent.
1- $\pi^2 \int_0^1 f^2 \le \int_0^1 f'^2$
2- L 'inégalité devient égalité pour $f (x)=sin (\pi x) $
De tout façon, ça ne te donne pas la constante optimale pour le problème d'etanche. Car si tu prends $f(x)=\sin(\pi x)$, $\int_{0}^{1}f^2(x) dx \leq \pi^{-2} \int_{0}^{1} f’^2(x) dx$ est peut-être optimale, mais pas $\int_{0}^{1}f'^2(x) dx \leq \pi^{-2} \int_{0}^{1} f'’^2(x) dx$ car $f'(x) = \pi\cos(\pi x)$. Donc je ne vois pas comment ce que tu dis pourrait servir.
- $(a_n)$ telle que $a_1=1$ et $\forall n>1, \; a_n=0$
- $(b_n)$ telle que $b_1=2$, $b_2=-1$ et $\forall n>2, \; b_n=0$
On aurait alors $$k_a := \sup_{(a_n),\,(n^2a_n)\in\ell^2} \frac{\sum\limits_{n=1}^\infty a_n ^2 +2\Big(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \Big)^2}{(2\pi )^4 \sum\limits_{n=1}^\infty n^4 a_n^2} = \frac{1^2 +2(1)^2}{(2\pi )^4 1^4\cdot 1^2} = \frac{3}{(2\pi )^4}$$ et $$k_b := \sup_{\substack{(b_n),\,(n^2a_n)\in\ell^2\\ \sum nb_n=0}} \frac{\sum\limits_{n=1}^\infty b_n ^2}{(2\pi )^4 \sum\limits_{n=1}^\infty n^4 b_n^2} = \frac{2^2 +1^2}{(2\pi )^4 (1^4\cdot 2^2+2^4\cdot 1^2)} = \frac{1}{4(2\pi )^4}$$ donc $k=\max(k_a,k_b)=\frac{3}{(2\pi )^4}\approx 0{,}002$. Et la fonction optimale serait $f:x\mapsto1-\cos(2\pi x)$.Mais, si c'est vrai, ça m'a l'air pénible à montrer.
PS: $\frac{3}{(2\pi )^4}$ est une meilleure constante que le $\frac1{32}$ trouvé par @MrJ, donc on reste cohérent.
16\pi^4 /3 \int_0^1 (1-cos (2\pi x))^2 dx; 16\pi^4 \int_0^1 cos^2 (2\pi x)dx
Bingo . Tu vas devenir quelqu'un de tres renommé calli.
@bd2017 : Ton équation équivaut à $\cos(z)\operatorname{ch}(z)=1$, mais il me semble que sa plus petite solution strictement positive est environ $4{,}7$, qui est bien plus grand que $\frac{3}{16\pi^4}$. Et je ne vois pas le rapport entre notre problème et ton équation. Tu peux expliquer ?
Veux-tu nous rédiger quelques lignes expliquant ta méthode ?
Merci.
@MrJ : bien 👍
Ce dont on est sûr c'est que $\frac3{(2\pi)^4}\leqslant k\leqslant \frac1{192}$. Et $k=\frac1{4{,}7003^4}$ est compatible avec ça. Dans ce cas, ça voudrait dire que $\frac3{(2\pi)^4}$ n'est pas la constante optimale (mais je n'ai jamais affirmé qu'elle l'était ; je l'ai juste conjecturé).
Edit : Je n'avais pas vu ton édit, où tu dis aussi qu'il y a incompatibilité entre les deux constantes qu'on avance.
Les solutions $f\in H^4(]0,1[)$ de $f^{(4)}=\alpha f$ avec $\alpha\in \Bbb R$ sont $\mathcal{C}^4$. En effet, $H^4(]0,1[)\hookrightarrow\mathcal{C}^3(]0,1[)$ par injection de Sobolev ($4>3{,}5=3+\frac{d}2$), puis $f^{(4)} =\alpha f\in\mathcal{C}^0$. Pour l'existence d'un maximum, je ne sais pas.
{\rm e}^{-1}} \right) {{\rm e}^{2\,x}}}{-{{\rm e}^{1}}-{{\rm e}^{-1}}+
2\,\cos \left( 1 \right) }}+1/2\,{\frac { \left( -{{\rm e}^{1}}+\cos
\left( 1 \right) -\sin \left( 1 \right) \right) {{\rm e}^{-2\,x}}}{-
{{\rm e}^{1}}-{{\rm e}^{-1}}+2\,\cos \left( 1 \right) }}-1/2\,{\frac {
\left( {{\rm e}^{1}}-{{\rm e}^{-1}}+2\,\sin \left( 1 \right)
\right) \sin \left( 2\,x \right) }{-{{\rm e}^{1}}-{{\rm e}^{-1}}+2\,
\cos \left( 1 \right) }}-1/2\,\cos \left( 2\,x \right) $ pour $x\in [0,1/2]$ et que l'on symétrise en posant $f(x)=f(1-x)$ pour $x\in [1/2,1]$, on obtient une fonction de classe $C^2$ qui permet de montrer que la constante $k$ est supérieure (ou égale ?) à 0.001938276542 qui est lui-même un réel strictement plus grand que $\frac{3}{(2\pi)^4}$