Nature d'une série double

questionneur

Bonjour,
quelle est la nature de cette série double ?
$$\Big(\sum \limits_{n=1}^m n^{-a} \cos(b\ln(n)) \sum \limits_{n=1}^m (-1)^{n} n^{-a} \cos(b\ln(n))\Big)_{m \in \N^*},$$ où $0<a<1, b \in \R$,
$\Big(\sum \limits_{n=1}^m n^{-a} \cos(b\ln(n))\Big)_{m \in \N^*}$ diverge,
et $\Big(\sum \limits_{n=1}^m (-1)^{n} n^{-a} \cos(b\ln(n))\Big)_{m \in \N^*}$ converge vers $0$.

Poirot

La série définissant la fonction $\zeta$ de Riemann ne converge pas pour les parties réelles entre $0$ et $1$. Tu n'attaqueras pas l'hypothèse de Riemann comme ça.

questionneur

Oui, la série définissant la fonction $\zeta$ de Riemann $\left(\zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} n^{-s}\right)$ ne converge pas pour les parties réelles de $s$ inférieures ou égales à 1. Mais je vous demande de bien vouloir m'expliquer le rapport avec mon premier post (qui reste d'actualité si qqn a une idée?) svp ?