Dilatation analytique

mathspe

Bonjour,

Dans un papier, j'ai vu que le spectre de l'operateur  $T=-\frac{d^2}{dx^2}+x^2$ est $\{2n+1\mid n \in \Bbb{N}\}$ et par  dilatation $x=r y$ le spectre de l'opérateur $T_r=-r^{-2}\frac{d^2}{dx^2}+r^2x^2$ devient $\{(2n+1)r^2\mid n \in \Bbb{N}\}$. Pourquoi ?
Merci

JLapin

A partir d'un vecteur propre pour le premier opérateur, tu devrais pouvoir construire un vecteur propre pour le second.

mathspe

mais s'il n'admet pas de vecteurs propres?

Ug

Quelle est ta définition du spectre d'un opérateur ?

Renart

mathspe a dit :

mais s'il n'admet pas de vecteurs propres?

Tu devrais commencer par préciser le domaine de définition de ton opérateur... Ses propriétés, y compris son spectre, en dépendent grandement.

mathspe

Bonjour@Ug, un document sur le spectre https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-Projet-L3ENS/Projet-Cometx.pdf
Renart, il est auto-adjoint et j'ai décrit son spectre.

JLapin

Mais toi, qu'as-tu compris de ce document en lien avec la question que tu te poses ?

Renart

mathspe a dit :

Bonjour@Ug, un document sur le spectre https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-Projet-L3ENS/Projet-Cometx.pdf
Renart, il est auto-adjoint et j'ai décrit son spectre.

Tu ne veux pas répondre à ma question, ce qui fait que je ne peux pas répondre à la tienne.

Par exemple l'existence ou non de vecteurs propres dépend du domaine... Dès qu'on parle d'un opérateur non borné il faut donner les espaces de départ, d'arrivée et le domaine de définition, sinon on ne sait pas de quoi on parle.

Mais enfin, sans plus d'info j'imagine que le message de JLapin devrait s'appliquer dans à peu près tous les cas (à condition de comprendre comment on caractérise le spectre) : à partir d'un presque vecteur propre pour le premier opérateur, tu devrais pouvoir construire un presque vecteur propre pour le second.

Débrouilles-toi avec ça.

mathspe

Bonjour@Renart. Non pas du tout, son domaine c'est $H^2(\R)$ sur ce domaine il est auto-adjoint, 
JLapin ah oui, je vais voir
Merci infiniment pour votre intervention