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Espace qui n’est pas de Hilbert

Modifié (15 May) dans Analyse
Bonjour,

on veut montrer que $E=\lbrace f \in C([0,1],R), f(0)=0\rbrace$ n’est pas un Hilbert pour $<f,g>=\int_{0}^{1}fg$

J’ai cherché un contre exemple qui ne vérifierait pas l’identité du parallélogramme mais je n’ai pas trouvé.
Auriez-vous une idée de la démonstration ? 
Merci

Réponses

  • Modifié (15 May)
    Les bornes d'intégration sont peut-être à échanger ; une fois ce changement fait, il y a deux choses à voir :
    - est-il préhilbertien ? Là en l'occurrence l'objet est une forme bilinéaire symétrique et on vérifie sans trop de problème qu'elle est définie positive (si les bornes sont changées)
    - est-il complet ? Là on peut vérifier que non, intuitivement, la convergence au sens de cette norme risque de faire perdre la continuité, il te va donc être possible de fabriquer une suite de Cauchy qui ne converge pas dans $E$.
  • Oui effectivement, erreur de frappe pour les bornes.
    J’avais bien cerné que c’était effectivement un espace préhilbertien, et c’est la complétude qui me pose problème, je n’arrive pas à exhiber une suite de Cauchy qui convient 
  • Auriez-vous une indication ? Merci
  • Une suite de fonctions continues nulles puis affines puis égales à 1. 
    Et telle que la partie affine tende vers un segment vertical. 
  • Merci de votre réponse, mais comment je fais pour montrer qu’une telle suite est de  Cauchy ?
  • Des dessins permettent de travailler. 
    Pour le caractère de Cauchy, l’idée est que « la fenêtre » a une aire qui tend vers 0. 

    Propose une formule pour qu’on puisse travailler.  
  • Il faut à ce stade que tu commences à écrire une suite qui satisfait ce qu'on te dit, puis ensuite c'est un simple calcul. On a déjà fait 90% de la démarche
  • J’aurais dit quelque chose comme $f_n(x)=0$ si x=0, 1 si $x>= 1/n$ et affine sinon

    mais j’avoue que j’ai du mal à traduire mathématiquement ce que vous suggérez 
  • affine signifie que tu vas relier $(0,0)$ à $(1/n,1)$ par un segment de droite. Si tu connais les équations de droite (à mon époque c'était niveau 3ème, mais je te rassure, même en L3 c'est compliqué pour mes étudiants), tu devrais y arriver.
  • Dans mon esprit c’est autour de 1/2 que ça grimpe de 0 jusque 1. Mais ça n’a pas d’importance. 
    Il faut s’y mettre. 
    C’est entre 1/2-1/n et 1/2+1/n que ça grimpe. 
    Mais j’en dis trop peut-être. 
    Si c’est moi qui fait l’exercice, c’est peu pertinent. 
  • La partie affine sera de la forme x:->nx ?

    Je suis un peu perdu, je ne vois pas comment prouver que cette suite est de Cauchy et comment cela montre que l’espace n’est pas complet 
  • La partie médiane est de la forme $a_nx+b_n$. 
    Sans dessin je ne sais pas le faire. 

    Pour le caractère de Cauchy il faut d’abord avoir les fonctions. 
  • Du coup ce serait $n/2x +1/2-n/2$ pour la partie affine ?
  • J’ai plutôt 1/2-n/4 pour l’ordonnée à l’origine. 
    J’ai bien x.n/2 pour la partie linéaire. 
  • Oui en effet j’ai oublié de multiplier par 1/2.
    mainetnant que j’ai mon candidat pour ma suite, admettons que j’ai montré qu’elle était de Cauchy (avec la définition classique), comment conclure quant  au caractère non complet ?
  • Ça a été dit plus haut. 
    Si l’espace est complet, il existe une fonction de E qui est limite de cette suite au sens de la norme induite par le produit scalaire. 


  • Oui je suis d’accord avec cela, mais je ne saisis pas en quoi cela aboutit à une absurdité 
  • Regardons la convergence simple de cette suite de fonctions. 
  • Vu que le n est au numérateur, en l’infini cela va tendre vers l’infini 
  • Attention, quand $n$ est grand, on sort de la partie affine non constante, si je puis dire…

    As-tu fait un dessin ?

    remarque : la convergence simple, c’est « je fixe $x$ et je regarde ce que donne la suite $f_n(x)$. 

    Cela dit comme math2 l’a formulé, ça va donner une idée pour « la limite » de la suite de fonctions mais pas une preuve propre de ce que l’on veut faire. 
  • Je pense que :

    1) on fait des dessins, on intuite donc une limite "raisonnable" pour cette suite de fonctions. La limite raisonnable est en fait la limite simple.

    2) il faut se convaincre ensuite que dans ce cas-ci, s'il y a une limite au sens de la norme, la limite serait la même sur $]0;1]$ au sens simple. Cela te fait un candidat sur $[0;1]$ si tu veux une fonction continue, et manque de pot ta limite ne satisfera pas $f(0)=0$.

    3) on se convainc enfin que la suite est de Cauchy. Cela pourrait être plus ou moins chiant selon la manière dont on prend le calcul.

    PS : Dom j'avais la même idée que toi, mais je me suis laissé emporter par la proposition de fifi qui devrait marcher aussi.
  • Merci pour ces explications sauf que j’ai beaucoup de mal à « intuiter »
    oui j’ai fait un dessin
  • Modifié (15 May)
    • Pour $n \in \mathbb N^*$ soit $u_n(x)=nx$ pour $x \in [0, \frac 1n]$ et $u_n(x)=1$ pour $x \in [\frac 1n,1]$.
    • Soit $p>q>0$. Si $x \in [0, \frac 1p]$ alors $u_p(x)-u_q(x)= (p-q)x$.
    Si $x \in [\frac 1p, \frac 1q]$ alors $u_p(x)-u_q(x)= -qx+1$.
    Si $x \in [\frac 1q,1]$ alors $u_p(x)-u_q(x)= 0$. Faire le dessin.
    • On a :  $\left\Vert u_{p}-u_{q}\right\Vert ^{2}=\int_{0}^1 (u_p(t)-u_q(t))^2dt=...$
    $=\int_{0}^{\frac{1}{p}}(p-q)^{2}t^{2}dt+\int_{\frac{1}{p}}^{\frac{1}{q}}(-qt+1)^{2}dt=\frac{1}{3p^{2}q}(p-q)(p+2q)<\frac{1}{q}$.
    • Il en résulte que la suite $u_n$ est une suite de Cauchy dans l’espace préhilbertien $E$.

  • Modifié (15 May)
    Si la suite de fonctions $u_n$ convergeait vers une limite $u$ dans l'espace $E$, on aurait :
    $\left\Vert u_{n}-u\right\Vert ^{2}=\int_{0}^{1}(u_{n}(t)-u(t))^{2}dt=\int_{0}^{\frac{1}{n}}(nt-u(t))^{2}dt+\int_{\frac{1}{n}}^{1}(1-u(t))^{2}dt\longrightarrow 0$.
    Et par conséquent : $\int_{\frac{1}{n}}^{1}(1-u(t))^{2}dt\longrightarrow 0$.
    Or $\int_{\frac{1}{n}}^{1}(1-u(t))^{2}dt\longrightarrow \int_{0}^{1}(1-u(t))^{2}dt$.
    D'où $\int_{0}^{1}(1-u(t))^{2}dt=0$ et par suite $u(t)=1$ pour tout $t\in \lbrack 0,1]$. Impossible.
    Ce qui prouve que l'espace $E$ n'est pas complet.
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    ERREUR : à cet endroit, j’ai oublié que $f(0)=0$

    Ok, math2. 
    Pourtant si on fait ça il me semble que même si la limite simple est discontinue, on trouve une limite dans $E$ qui est la fonction $t\mapsto 1$. (ce n’est pas dans $E$)
    Sauf si j’ai mal compris la suite considérée.
  • Merci beaucoup @Chaurien !
    j’ai mieux compris ainsi, bonne soirée 
  • Modifié (15 May)
    @ Dom : certes tu trouves cela dans $C^0$ muni de cette norme, mais du coup la limite n'est pas dans $E$.
    Bon Chaurien a finalement donné tous les détails.
    Pour l'aspect Cauchy, pour les fainéants des calculs comme moi, on peut aller un poil plus vite (en évitant de détailler $u_p-u_q$) :
    $\| u_p-1\|^2=\int_0^{1/p} (px-1)^2dx=\frac{1}{3p}$ (en posant $u=px-1$) donc
    $\|u_p-u_q \| \leq \sqrt{\frac{1}{3p}}+\sqrt{\frac{1}{3q}} \leq \frac{2}{\sqrt{3q}}$ grâce à l'inégalité triangulaire,
    (en fait la suite tend vers $1$ dans $L^2$ et est donc de Cauchy là dedans, et donc dans $E$ puisque la condition d'être de Cauchy ne dépend pas de l'espace choisi pourvu qu'on ne change pas la norme et que la suite soit bien dans le plus petit).
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    @math2
    •la limite simple n’est pas dans E (car la fonction vaut 1 partout sauf en 0, si encore une fois on parle de la même suite qui est : $f_n(0)=0$, $f_n(x)=1$ pour $x\geq \dfrac{1}{n}$, et continue affine sur $[0;1]$). 
    •mais la suite converge dans E (au sens $\mathcal L_1$ donc) vers la fonction constante égale à 1 (qui n’est pas dans $E$ puisque l’on doit avoir $f(0)=0$)
  • Modifié (15 May)
    Personnellement, je ne parle de limite que lorsque la limite est dans l'e.v.n. que l'on considère, donc ici la suite n'a pas de limite du tout de mon point de vue. Le manuel que j'ai sous la main (L3 Analyse Pearson, p. 77) prend la même convention que moi.
    Je n'ai d'ailleurs pas le souvenir d'avoir vu d'autres exemples que les $\pm \infty$ dans $\R$ usuel (avant donc de disposer de la structure métrique de $\overline{\R}$), d'une limite qui serait à l'extérieur de l'ensemble, mais peut-être que ma mémoire défaille.
    Sinon bien entendu je suis d'accord que la suite considérée a pour limite $1$ au sens ${\mathcal L}^2$ dans la fermeture, ou même dans $C^0$ avec cet exemple de suite.
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    Étrange car moi aussi je suis d’accord avec ça (sémantique « limite »). . 
    Sauf quand je dis « limite simple » qui est précis, qui sort du cadre e.v.n.
    a) $(f_n)_n$ converge vers $t\mapsto 1$ dans $E$. 
    b) $t\mapsto 1$ est la limite de $(f_n)_n$ dans $E$. (ERREUR : j’avais oublié la condition $f(0)=0$)

    Je viens de comprendre : je dis $\mathcal L^1$ mais tu avais bien écrit $\mathcal L^2$ et je n’ai pas fait attention. 
    Par contre les deux phrases a) et b) sont justes, non ? (non !)
  • Modifié (15 May)
    • Bon, restons simples. On a défini une suite de fonctions $u_n$ qui sont éléments de l'espace préhilbertien $E$. Cette suite est de Cauchy. Elle a une limite dans l'espace $E$, ou bien elle n'en a pas. Il se trouve qu'elle n'en a pas. L'espace $E$ n'est donc pas complet. C'est tout.
    • Maintenant, pour démontrer que cette suite est de Cauchy, il a fallu quelques lignes de calculs qu'on peut trouver désagréables. On peut arranger ça.
    La suite de fonctions $u_n$ est croissante. Si $p>q>0$ et si $x \in [0,1]$ alors :  $0 \le u_p(x)-u_q(x) \le  u_p(x)  \le 1$.
    Pour $x \in [\frac 1q,1]$ on a : $u_p(x)=u_q(x)=1$. Faire une figure, on y voit mieux.
    En conséquence :  $\left\Vert u_{p}-u_{q}\right\Vert^{2}=\int_{0}^{1}(u_{p}(t)-u_{q}(t))^{2}dt=\int_{0}^{\frac{1}{q}}(u_{p}(t)-u_{q}(t))^{2}dt\le  \frac{1}{q}$.
    On oublie les vilains calculs, et la suite $u_n$ est de Cauchy.
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    Oui, Chaurien, mais là on parle d’une autre suite (si toutefois tu répondais à nos échanges). 

    (ERREUR : c’est moi qui étais dans les choux)
  • Modifié (15 May)
    Dom, pour moi la suite n'a pas non plus de limite simple (dans $E$ en tout cas)., et a fortiori je dirais encore moins converge dans $E$ (même simplement)
    Mais ce qui m'a perturbé, c'est que tu écris que la suite converge dans $E$ (normé) vers la constante égale à $1$
    PS : j'ai posé un exo du même accabit à mes étudiants, mais détaillé. Et je me suis rendu compte que pour eux, la potentielle limite dans $E$ ne pouvait qu'être la limite simple, et qu'ils ne se sentaient pas le besoin de le justifier. J'ai donc également été amené à détailler ce point, très bien expliqué par Chaurien.
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    Ok.
    Pour moi, "la limite simple" ici ne pose pas de problème. Et l'expression peut être sans obligation à être dans $E$.
    C'est juste une expression qui dit : pour tout $x$, $(f_n(x))$ converge dans $\mathbb R$).

    Et pour la convergence dans $E$, c'est pourtant la définition :
    il existe $f \in E$  tel que $\displaystyle \lim\limits_{n} \int_0^1 |f_n-f|^2 =0$

    ERREUR : le $f$ ici n’est pas dans E. 

    Exact : il existe un fil où j'étais hésitant sur ces questions et on énonce un théorème "la limite simple est presque partout la limite $\mathcal L^p$" si encore une fois j'ai bonne mémoire...
  • Modifié (16 May)
    Oui, mais tu as écrit "on trouve une limite dans $E$ qui ...". Je veux bien parler de limite simple, mais pas de limite simple dans $E$.
    Pour la question de la convergence, je suis bien entendu tout à fait d'accord avec ta définition, mais il faut tout de même que se convaincre qu'une fonction de $E$ qui satisferait cela ne pourrait qu'être la fonction qui vaut $1$ au moins sur $]0;1]$, sachant que ça marche avec $f=1$, mais qui n'est pas dans $E$. On peut éventuellement invoquer l'unicité de la limite dans un espace plus gros que  $E$ et qui contient $1$ (par exemple ici $C^0$), mais ça se fait à la main.
  • Ok.
    Pour moi, "la limite simple" ici ne pose pas de problème. Et l'expression peut être sans obligation à être dans $E$.
    C'est juste une expression qui dit : pour tout $x$, $(f_n(x))$ converge dans $\mathbb R$).

    Et pour la convergence dans $E$, c'est pourtant la définition :
    il existe $f \in E$  tel que $\displaystyle \lim\limits_{n} \int_0^1 |f_n-f|^2 =0$

    Exact : il existe un fil où j'étais hésitant sur ces questions et on énonce un théorème "la limite simple est presque partout la limite $\mathcal L^p$" si encore une fois j'ai bonne mémoire...
  • Il me semble que notre espace n'est pas fermé  dans L^2 CQFD
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    Citation en cours
  • Modifié (16 May)
    Dom, je suis d'accord avec ta première remarque, mais tu as parlé de limite simple dans $E$. Et si pour moi il y a une limite simple, il n'y en a pas dans $E$.
    Ensuite, je suis d'accord avec ta définition, mais il s'agit d'expliquer que l'unique candidat $f\in E$ à satisfaire ta propriété vaudrait nécessairement $1$ sur $]0;1]$, sachant que la fonction constante $1$ satisfait cette condition mais sans être dans $E$. Un argument possible serait de passer dans un espace plus gros qui contient $E$ et ta fonction constante, par exemple $C^0$, puis évoquer l'unicité de la limite dans le gros espace, mais cela peut aussi se faire à la main.
    Sinon gebrane nous sommes tout à fait d'accord, mais vue la manière dont l'exercice est rédigé, je pense que l'idée était de rester le plus "terre à terre". On peut poser cet exercice dans le cadre de la découverte de la topologie des e.v.n. de dimension quelconque, sans aller jusqu'à avoir vu de près ou même de loin les $L^p$.
  • Désolé, le message de Dom est apparu deux fois, et donc je n'avais pas vu que ma première réponse était passée ... Je dis donc deux fois plus ou moins la même chose, même si j'ai rajouté un petit commentaire pour gebrane
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    Ok. J’ai eu du mal à poster aussi, ce qui complique l’échange. Ça saute terriblement…
    En effet, tu mets le doigt sur tout ce qu’il faut (restriction sur ]0;1]). 
    Par contre dans ma phrase « on trouve une limite dans E » ce n’est pas de la limite simple dont je parle. 
    Je n’ai pas parlé de « limite simple dans E ». 
    La phrase disait, ou plutôt voulait dire. 
    1) la limite simple n’est pas dans E
    2) on parvient à trouver quand même une limite dans E. ERREUR !
    Bon mais cet échange n’est pas inutile. 
    Ça me remet les choses en place 😀 et les lecteurs qui passeront par là seront ravis. 
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    ÉNORME Mea Culpa, désolé @math2@Chaurien et @fifi21 !!!
    J’ai zappé $f(0)=0$ dans tout mon discours.
    Quel imbécile !!!
  • Modifié (16 May)
    Si l'on oublie la condition $f(0)=0$ et si l'on considère l'ensemble $F$ de toutes les fonctions continues $f: [0,1] \rightarrow \R$, avec le même produit scalaire $<f,g>=\int_{0}^{1}fg$, c'est encore évidemment un espace préhilbertien, mais la démonstration précédente de non-complétude n'est plus valable.  Alors ?
  • On décale le saut en $1/2$ comme le proposait initialement Dom
  • Modifié (16 May)
    En effet, considérons l'espace $F$ des fonctions continues $f: [0,1] \rightarrow \R$, avec le même produit scalaire $<f,g>=\int_{0}^{1}fg$.
    On prend la suite de fonctions éléments de $F$, pour $n \ge 2$ :  $u_n(x)=0$ si $x \in [0,\frac 12]$, et $u_n(x)=1$ si $x \in [\frac 12 +\frac 1n,1]$, et $u_n$ affine sur $[\frac 12, \frac 12 +\frac 1n]$. La même démonstration prouve que c'est une suite de Cauchy dans l'espace préhilbertien $F$.
    Si cette suite avait une limite $u \in F$, alors : $\int_{0}^{\frac 12}u(t)^2 dt=0$ et $\int_{\frac 12}^{1}(1-u(t))^2 dt=0$. Impossible. Merci math2.
  • DomDom
    Modifié (16 May)
    Ouf 🤣 je n’ai pas été complètement hors-sujet. 
    C’est ce point que je voulais préciser. 
    Sans la condition en l’origine, la première suite ne suffit pas. Mais à force d’être obnubilé, j’ai fini à l’ouest. 
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