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Sujet X-ENS Math B 2022

Modifié (15 May) dans Concours et Examens
Bonjour à tous
Le sujet math B de 2021 était riche (avec un bon caractère et  un bon fil conducteur) : loi zéta-Zipf, nombre moyen de décomposition en sommes de carrés, fonction béta de Dirichlet et sa factorisation, et beaucoup d'autres choses. Ceux qui auraient envie de continuer l'aventure n'ont peut-être pas vu le sujet math B 2022 (voir pièce jointe). 

Cette année, on calcule quelques valeurs de la fonction zéta aux premiers entiers pairs positifs en fonction des nombres de Bernoulli, (encore eux!), on parle de mesures tendues et on montre par exemple que la probabilité d'avoir 6 entiers premiers entre eux lorsque qu'on choisit 6 nombres entiers entre 1 et $n$ de façon uniforme tend vers $\displaystyle\left(\frac{945}{\pi^6}\right)^{-1}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 

J'avoue que mon résultat préféré dans le sujet est le calcul de $b_6=\frac{1}{42}$, sans doute mon basculement du côté obscur de l'informatique  ;) 
Le sujet ne m'a malheureusement pas permis de tenter une application du "test de Colmez" pour savoir si une suite de nombres a un rapport avec les nombres de Bernoulli, pas de 691 en vue.  
Bonne soirée à tous.
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