Continuité et borne supérieure — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Continuité et borne supérieure

Modifié (14 May) dans Analyse
Bonjour.
Soit $f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose que $\lim_{y \to +\infty}(f(y)+c y)=-\infty$ où $c<0.$
Soit $x \geq 0.$ Prouver que si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) \geq x$ alors il existe $u\in \mathbb{R}_+$ tel que $f(u) +cu\geq x.$

Supposons que $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) \geq x.$
Si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) > x$ alors il existe $y_0 \geq 0$ tel que $f(y_0)+cy_0>x.$
Si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy)=x$ alors il existe une suite $(y_n)_n$ tel que $\lim_n f(y_n)+cy_n=x,$ comment traiter alors ce cas ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (14 May)
    Bonjour,
    Il y a une erreur d'énoncé. L'hypothèse doit être $\sup f>x$ avec une inégalité stricte. Sinon, $y\mapsto -e^{-y}$ et $x=0$ est un contre-exemple.
  • L'arctan donne aussi un contre-exemple
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • Modifié (15 May)
    Désolé une hypothèse manquante est ajoutée et le problème est corrigé.
  • Puisque la limite de g est -infinie.
    À  partir d'un certain rang A  ,
    g (x)=f (x)-cx <f (0), donc le sup de g sur R+ coïncide avec le sup de g sur [0,A]. Par continuité il est atteint .CQFD
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!