Continuité et borne supérieure

matheuxpro

Bonjour.

Soit $f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose que $\lim_{y \to +\infty}(f(y)+c y)=-\infty$ où $c<0.$

Soit $x \geq 0.$ Prouver que si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) \geq x$ alors il existe $u\in \mathbb{R}_+$ tel que $f(u) +cu\geq x.$

Supposons que $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) \geq x.$

Si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy) > x$ alors il existe $y_0 \geq 0$ tel que $f(y_0)+cy_0>x.$

Si $\sup_{y \in \mathbb{R}_+}(f(y)+cy)=x$ alors il existe une suite $(y_n)_n$ tel que $\lim_n f(y_n)+cy_n=x,$ comment traiter alors ce cas ?

Merci.

Calli

Bonjour,
Il y a une erreur d'énoncé. L'hypothèse doit être $\sup f>x$ avec une inégalité stricte. Sinon, $y\mapsto -e^{-y}$ et $x=0$ est un contre-exemple.

gebrane

L'arctan donne aussi un contre-exemple

matheuxpro

Désolé une hypothèse manquante est ajoutée et le problème est corrigé.

gebrane

Puisque la limite de g est -infinie.
À  partir d'un certain rang A  ,
g (x)=f (x)-cx <f (0), donc le sup de g sur R+ coïncide avec le sup de g sur [0,A]. Par continuité il est atteint .CQFD