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Préliminaires formes symplectiques Centrale 2022

Modifié (15 May) dans Algèbre
Bonsoir,

La question $2$ me pose des problèmes. Comment on est sûr que $M$ admet des valeurs propres ? Si elles sont complexes, ça n'a aucun sens de parler de valeurs propres strictement positives non ? 

$Q_1$) Soient $i,j$ fixés dans $[|1,n|]$.
 Je prends $Y=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $i$ ème position et $X=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $j$ ième position.
Alors $[AY]_{k} = a_{ki}$ et donc $X^T AY= a_{ji}$
De même $X^T BY =b_{ji}$

On a donc montré $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ a_{ji}=b_{ji}$. Finalement $\boxed{A=B}$.

$Q_2$) Notons $Sp(M)=\{ \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$. On sait que $Sp( M^T)= \{  \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$.

Donc $\det (M^T M)= \displaystyle\prod_{k=1}^n \lambda_k ^2 \ne 0$.

Mots clés:
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Réponses

  • Parce maintenant l'ensemble des réels égal ensemble des complexes ? 
  • Modifié (13 May)
    OShine a dit :
    Comment on est sûr que $M$ admet des valeurs propres ?
    C'est des valeurs propres de $M^{T}M$ qu'il s'agit...
  • Modifié (13 May)
    Étudie le cours dans un premier temps. C'est assez ridicule de bloquer sur cette question avec un bouquin à disposition.
  • Modifié (13 May)
    Oshine si une matrice $M$ est inversible alors $M^{T}$ aussi. Donc $M^{T}M$ est inversible ($ GL_{n}(\R)$ est un groupe), mais également $M^{T}M$ est symétrique réelle définie positive. Je te laisse voir pourquoi. Donc ta réponse à la question 2 ne score aucun point.
  • Tu ne veux pas te planter sur des problèmes de lycée, et donc tu n'essaies pas d'en faire. Je comprends complètement.
    Mais tu peux couper la poire en 2. Entre des problèmes de lycée, et des problèmes de Centrale, tu peux te planter plutôt sur des problèmes type Ecole de Commerce.
    Et quand tu te seras planté pendant 2 ou 3 ans sur ces problèmes d'écoles de commerce, tu pourras t'attaquer aux exercices de niveau terminale et te planter à nouveau.
  • Modifié (13 May)
    @ lourran : il est (parfois) arrivé que certaines épreuves d'HEC soient plus difficiles que certaines épreuves de Centrale. Je me souviens d'une discussion où le directeur des Mines félicitait pour le niveau d'une des épreuves le directeur d'HEC et lui avait dit "on n'aurait pas osé poser cela aux Mines". Ce devait être un sujet sur de l'analyse convexe ou des théorèmes de séparation, n'enseignant pas en prépa ECS je ne sais pas ... Après évidemment, je ne sais pas ce que les candidats en ont fait, et si l'épreuve a joué convenablement son rôle.
  • Peut-être celui-ci ?
  • Modifié (13 May)
    oui, c'est sans doute celui-ci, en plus j'ai le souvenir que c'était entre 2009 et 2015, donc ça colle. Faudra que je le regarde un jour, d'ailleurs
  • Modifié (14 May)
    Les sujets de MP sont plus intéressants que les sujets de HEC.
    Je ne cherche pas des sujets difficiles mais des sujets accessibles. Je ne sais pas dans quel catégorie est classé ce sujet.
    Je vais réfléchir davantage. 
  • Pfff... Ce qu'il ne faut pas entendre... 
  • Là pour le coup tu as un sujet d HEC qui a l'air intéressant, un début qui ressemble à un sujet d'agreg interne (2020 ?) avec projection sur un convexe fermé, obtention de théorèmes de séparation, et une application à la théorie des jeux. 

    Une année (entre 2015 et 2020 je crois) des collègues de prépa faisaient le commentaire qu'un sujet tombé dans un concours scientifique (les mines je crois) était très proche d'un sujet tombé en ECS quelques années auparavant ... Nos collègues en prépa voient peut-être de quel sujet c'est. 
  • Modifié (14 May)
    Bonjour,
    >Les sujets de MP sont plus intéressants que les sujets de HEC.
    Ce n'est que ton avis.
    > Je ne cherche pas des sujets difficiles mais des sujets accessibles. 
    Ça n'a aucun sens. C'est subjectif. Et tu as prouvé que ça ne correspond pas à la réalité.
    > Je ne sais pas dans quel catégorie est classé ce sujet.
    Il n'est pas classé. C'est toi qui a la manie de classer.
    > Je vais réfléchir davantage. 
    Ça c'est nouveau. Bonne nouvelle !!
    Cordialement,
    Rescassol
  • @OShine : On t'a montré dans un autre fil qu'il faut penser produit scalaire dans ce type de problème !
    Q1) Pour tout $Y$, on  a $\langle X,(A-B)Y\rangle=0$ pour tout $X$.
    Donc $(A-B)Y=0$ pour tout $Y$ donc $A=B$.
  • Modifié (14 May)
    $M^tMX=\lambda X$  donc  $<M^tMX,X>=\lambda <X,X>=<MX,MX>$  ....
  • OShine, il y a pas mal de sujets HEC qui sont "intéressants". Mais l'intérêt est relatif à la personne qui le regarde.
  • Modifié (14 May)
    Dans le programme de HEC il n'y a pas de topologie je crois .... Je voulais dire que les sujets de MP font travailler plus de notions.

    @gai requin ok merci. $< X, (A- B ) Y>= X^T ( A- B ) Y)= X^T A Y - X^T BY =0$
    Je ne comprends pas comment tu en déduis que $(A-B)Y=0$  

    @Amédé la notion de matrice symétrique définie positive est hors programme.


    Q2) Posons $A=M^T M$. La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.

    Soit $X$ un vecteur propre associé à $\lambda$. On a $M^T M X= \lambda X$.

    Donc $<M^T M X ,X> = \lambda || X||^2 = \lambda$. Or $<MX, MX>=X^T M^T M X= X^T \lambda X= \lambda || X||^2= \lambda$

    @bd2017 donc $\lambda = \lambda$ en quoi ça nous aide ? Je ne vois pas comment en déduire que $\lambda$ est positif.

    Montrons qu'il existe $S$ symétrique telle que $S^2 = M^T M$.

    Il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telle que $M^T M = P D P^{-1}$ avec $D=diag( \lambda_1, \cdots, \lambda_n)$

    Comme $\lambda_k >0$ on peut définir $D' =diag ( \sqrt{ \lambda_1} , \cdots, \sqrt{ \lambda_n})$

    La matrice $\boxed{S= P diag ( \sqrt{ \lambda_1} , \cdots, \sqrt{ \lambda_n}) P^{-1}}$ convient.
  • Modifié (14 May)

    donc $\lambda = \lambda$ en quoi ça nous aide ?


    Il faut utiliser une propriété assez subtile ici  pour conclure (j'espère qu'elle est dans ton livre) : si $a=b$ et si $a=c$, alors $b=c$.
    Mais je crois que même des profs d'université ont un peu de mal avec ça donc pas d'inquiétude.

  • Je n'ai pas compris on veut montrer que lambda est positif. 
  • Modifié (14 May)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Bon j'ai finalement compris ce passage on prend $ X=(A-B)Y $ et on utilise les propriétés du produit scalaire.
  • Je n'arrive pas à monter que les valeurs propres sont positives.
  • Ca fait moins de 2 heures que tu cherches. C'est trop court pour parcourir tous les livres de cours et tous les forums. Donne toi un peu plus de temps.

    Les candidats qui font l'épreuve, ils cherchent dans leur cerveau, parce qu'ils n'ont pas le droit de faire autrement. C'est à cause de ça qu'ils vont vite.
  • Modifié (14 May)
    @OShine tu es au courant que $<M^T M X ,X>=<M X ,MX>$ ? Si oui as-tu remarqué que $<M X ,MX>=\|MX\|^2$ et que par conséquent $<M X ,MX>$ est positif ?
    Il en découle que les valeurs propres sont positives.
  • Modifié (14 May)
    Ok @raoul.S merci j'ai compris.
    J'ai avancé dans la partie 1 ça n'a pas l'air très dur.
  • Modifié (14 May)
    Est-on sûr qu'Oshine existe vraiment ?
    Après tout, nous ne nous sommes jamais rencontré, et si Oshine était juste un programme pour faire de l'audience ?
    Je me pose VRAIMENT la question, parce qu'essuyer autant de critiques sans aucune réaction mérite une médaille, pas la Fields en tous les cas.
    J'attends confirmation, même en message privé
    Oshine existe tu vraiment ?
    Merci de confirmer.
    ojsanssimpson
  • Les critiques concernent mes faiblesses mathématiques donc elles sont fondées. 
  • Personnellement, tes faiblesses en mathématiques ne me posent aucun problème. Il y a plein de personnes qui ont autant de faiblesses.
    Par contre, tes faiblesses en méthodes de travail me font halluciner. Là, tu bats des records.
  • Modifié (14 May)
    Je n'ai pas trop de méthode en effet.
    Dans la partie 1 j'ai réussi les questions 2 à 8 je vais poster pour voir si j'ai bon.
    Il y a un juste un détail qui me bloque mais ça me semble à mon niveau.
  • "Je n'ai pas trop de méthode en effet."
    * et j'en suis fier
    * et je ne veux rien y changer
    * et j'aime bien qu'on me câline en me donnant des indications évidentes et des solutions complètes.
  • Modifié (14 May)
    Bonjour,
    C'est la partie 1 de Centrale MP maths 1 2022. J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct avant de continuer. Il m'a fallu 1 heure pour traiter ces questions.
    Q3) Soit $x \in E$. La propriété d'antisymétrie fournit $w(x,x)=-w(x,x)$ donc $2 w(x,x)=0$ donc $w(x,x)=0$.
    Q4) $F^w$ est non vide. En effet, d'après la propriété de non dégénérescence, $\forall y \in E \ w(x,0)=0$. Ainsi $0 \in F^w$.
    Soient $x,y \in F^w$. Soit $y \in F$. Alors $w(x+y,y)=w(x,y)+w(y,y)=0+0=0$.
    Soit $\lambda \in \R$. On a $w( \lambda x,y)=\lambda w(x,y)=\lambda \times 0=0$.
    Q5) On a $F^w \cap F= \{ x \in F \ | \ \forall y \in F \ w(x,y)=0 \} = \{0 \}$ d'après la non dégénérescence donc $F$ et $F^w$ sont en somme directe.
    Q6) $\dim E= \dim L(E,\R)$ donc il suffit de montrer l'injectivité. D'après la non dégénérescence, $\ker (d_w)= \{0 \}$ d'où l'isomorphisme.
    Q7) Ca me semble une évidence, si on fixe $u \in L(F,\R)$, on cherche à résoudre $u= \ell_{ | F}$. Il suffit de prendre pour $u$ un endomorphisme qui coïncide avec $\ell$ sur $F$.


  • Modifié (14 May)
    OShine a dit :
    Dans le programme de HEC il n'y a pas de topologie je crois .... Je voulais dire que les sujets de MP font travailler plus de notions.
    Bof, tu crois qu'un MP sait répondre à toutes les questions de ce sujet ?
  • Modifié (14 May)
    Ça ne m'a pas l'air simple mais ça ne semble pas non plus infaisable.
    Je disais que le programme de prepa scientifique est plus vaste que le programme de prepa éco.
  • Non, il y a plein d'erreurs de variables, de quantificateurs ou de raisonnements. Mais à quoi bon...
  • La première erreur est dans le titre du fil...
  • :D Littéralement génial 
  • - La Q3 est juste.
    - La rédaction de la Q4 est ignoble. Je rejoins JLapin, erreurs de variables.

    Il faudrait que tu rédiges correctement la Q4.
  • Modifié (14 May)
    Merci je vais réfléchir. Au moins quand on cherche un sujet seul sans l'aide de corrigé on voit qu'on peut écrire d'énormes bêtises.
  • Modifié (14 May)
    Q4) La non dégénérescence donne : $\boxed{ \forall y \in E \ \ w(0,y)=0 }$

    • $F^w$ est non vide. En effet, comme $\forall y \in E \ \ w(0,y)=0$ et que $F \subset E$ alors $ \forall y \in F \ \ w(0,y)=0$ donc $0 \in F^w$.
    • Soient $x,y \in F^w$. Alors $\forall z \in F \ w(x,z)=w(y,z)=0$. Montrons que $x+y \in F^w$. On a $\forall z \in F \ w(x+y,z)=w(x,z)+w(y,z)=0+0=0$.
    • Soit $\lambda \in \R$ et $x \in F^w$. Montrons que $\lambda x \in F^w$. Alors $\forall z \in F \ w( \lambda x,z)= \lambda w(x,z)= \lambda \times 0=0$.
    On a montré que $F^w$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • Modifié (14 May)
    Je trouve que certains sujets HEC (l'école, pas la filière) demandent une compréhension réelle de la signification pratique de résultats qui sont communs aux programmes des CPGE (exemple : les probas discrètes) et présentent souvent des applications que des "matheux classiques" ignorent. Pour résumer en une formule : les maths sont à la filière éco ce que la physique est à la filière maths.
  • Ah d'accord je ne m'y connais pas trop en probabilités statistiques... Ce que j'ai le plus pratiqué c'est l'algèbre linéaire et l'analyse de L1.
  • Modifié (14 May)
    Q5) Je bloque à cette question, je n'arrive pas à savoir si la réponse est oui ou non.
    • Comme $F$ et $F^w$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ alors $F^w \cap F$ est aussi un sous-espace vectoriel donc $\boxed{\{ 0\} \subset F^w \cap F}$.
    • Je n'ai pas réussi à démontrer l'inclusion inverse.

  • Modifié (14 May)
    Lorsque tu essaies de démontrer une affirmation que tu crois vraie et que tu n'y arrives pas, il faut considérer la possibilité que cette affirmation puisse être fausse... à partir de là tu ne chercheras plus une démonstration mais un contre-exemple.
  • D'accord merci je vais chercher dans cette voie.
  • Modifié (15 May)
    Je prends $E=\R^2$ et $F= Vect (1,1)$ la droite engendrée par $(1,1)$. C'est bien un sous-espace vectoriel de $\R^2$.
    On a :  $F^w= \{ x \in \R^2 \ | \ \forall y \in Vect(1,1) \ w(x,y)=0 \}$.
    Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique de $\R^2$. Remarquons que $e_1 +e_2 \in F$.
    Mais $w(e_1+e_2,e_1+e_2)=0$ d'après $Q_3$.  Ainsi $e_1+e_2 \in F^w$ et $e_1 +e_2 \ne 0$.
    On a trouvé un élément non nul dans $F \cap F^w$, ce qui montre que $F$ et $F^w$ ne sont pas nécessairement en somme directe.
  • Ok mais quelle est la forme symplectique associée? Peut être que y en a pas sur R²
  • En algèbre linéaire, on a des trucs à apprendre, des mots des définitions. Pendant que tu apprends ces définitions, tu as l'impression de faire des maths.
    En probabilités / statistiques, il y a peu de choses à apprendre. Au moins au début. Tout de suite, il faut comprendre et non apprendre. 
    C'est pour ça que tu t'aperçois que tu es en échec tout de suite, alors que tu ne t'en aperçois pas en algèbre.
  • Bon  moi je le signale parce que j'en ai marre. 
  • Done! 
  • Modifié (14 May)
    @OShine : concernant les probas, un indicateur de richesse mathématique est : ce domaine fait abondamment appel à presque tous les autres et les applications sont nombreuses et variées.
  • @OShine l'idée de ton contre-exemple est la bonne. Mais comme le signale noobey tu as supposé que tu disposais d'une forme symplectique sur $\R^2$ et rien à ce stade ne te dit qu'elle existe.

    Donc soit tu en construis une sur $\R^2$ soit tu te rends compte que ton argument peut être appliqué à tout espace vectoriel muni d'une forme symplectique. Mais dans ce dernier cas il faut adapter ton contre-exemple, le généraliser à un ev quelconque quoi.
  • Modifié (15 May)
    Je n'ai pas réussi à en construire sur $\R^2$... 
    Je prends donc $F$ un sous-espace vectoriel inclus dans $E$ non réduit à $\{0 \}$ ce qui est possible car $n \geq 1$. Ainsi, il existe $z \in F$ tel que $z \ne 0$. Posons $F=Vect(e_1, \cdots, e_p)$ avec $1 \leq p \leq n$.
    Donc il existe $\lambda_1, \cdots, \lambda_p \in \R^p$ non tous nuls tel que $z= \displaystyle\sum_{k=1}^p \lambda_k e_k$.
    On a $F^w= \{ x \in E \ \ | \ \forall y \in F \ w(x,y)=0 \}$. 
    Soit $y \in F$ alors $y= \displaystyle\sum_{l=1}^p \mu_l e_l$.
    Donc $w(z,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^p \displaystyle\sum_{l=1}^p  \lambda_k  \mu_l w( e_k ,e_l)$. Si $k=l$ on a $w(e_l,e_l)=0$ et si $k \ne l$ par antisymétrie, tous les termes vont s'annuler.
    Finalement il existe un élément non nul $z \in F^w \cap F$ donc $F$ et $F^w$ ne sont pas en somme directe.
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