Une question en intégration

massimassimo

Bonjour à tous, pouvez-vous me dire si la chose suivante est correcte, j'ai fait moi-même la preuve mais ça me perturbe un peu (je n'aime pas l'espace $L^{\infty}$).
Soit $u \in L^{\infty}(X \times Y) $, $X$ et $Y$ deux ouverts bornés de $\mathbb{R}$  on a 
pour p.p. $x \in X ,\quad  \int_{Y} u(x,y)dy \leq \Vert u \Vert_ {L^{\infty}(X \times Y)} mes(Y)$.
Merci d'avance.
Massimo.

Calli

Bonjour, 
Oui c'est exact. 

massimassimo

j'e l'ai fait par l'absurde , merci Calli

Calli

D'accord. Une preuve directe est aussi possible. 

massimassimo

Comment tu le fais directement, car moi je suppose l'absurde puis j'intègre les deux membres sur l'ensemble de mesure non nulle de X qui viole cette propriété (hypothèse de l'absurde) et j'arrive à truc < truc, contradiction.

math2

Je suis curieux de voir où se pose la difficulté d'une intégration directe

Calli

Pour une preuve directe, on peut dire qu'il existe $A\subset X\times Y$ mesurable, de complémentaire de mesure nulle, et tel que : $\forall (x,y)\in A, |u(x,y)|\leqslant \|u\|_{L^\infty(X\times Y)}$. Or pour presque tout $x$, $\{y\in Y\mid (x,y)\in A\}$ est de complémentaire de mesure nulle dans $Y$. Et les $x$ tels que $\{y\in Y\mid (x,y)\in A\}$ est de complémentaire de mesure nulle vérifient $\int_Y u(x,y)dy\leqslant \|u\|_{L^\infty(X\times Y)} mes(Y)$.

massimassimo

Merci Calli