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Une question en intégration

Modifié (13 May) dans Analyse
Bonjour à tous, pouvez-vous me dire si la chose suivante est correcte, j'ai fait moi-même la preuve mais ça me perturbe un peu (je n'aime pas l'espace $L^{\infty}$).
Soit $u \in L^{\infty}(X \times Y) $, $X$ et $Y$ deux ouverts bornés de $\mathbb{R}$  on a 
pour p.p. $x \in X ,\quad  \int_{Y} u(x,y)dy \leq \Vert u \Vert_ {L^{\infty}(X \times Y)} mes(Y)$.
Merci d'avance.
Massimo.

Réponses

  • Bonjour, 
    Oui c'est exact. 
  • j'e l'ai fait par l'absurde , merci Calli
  • D'accord. Une preuve directe est aussi possible. 
  • Modifié (13 May)
    Comment tu le fais directement, car moi je suppose l'absurde puis j'intègre les deux membres sur l'ensemble de mesure non nulle de X qui viole cette propriété (hypothèse de l'absurde) et j'arrive à truc < truc, contradiction.
  • Modifié (13 May)
    Je suis curieux de voir où se pose la difficulté d'une intégration directe
  • Pour une preuve directe, on peut dire qu'il existe $A\subset X\times Y$ mesurable, de complémentaire de mesure nulle, et tel que : $\forall (x,y)\in A, |u(x,y)|\leqslant \|u\|_{L^\infty(X\times Y)}$. Or pour presque tout $x$, $\{y\in Y\mid (x,y)\in A\}$ est de complémentaire de mesure nulle dans $Y$. Et les $x$ tels que $\{y\in Y\mid (x,y)\in A\}$ est de complémentaire de mesure nulle vérifient $\int_Y u(x,y)dy\leqslant \|u\|_{L^\infty(X\times Y)} mes(Y)$.
  • Merci Calli 
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