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Norme

Bonjour,

Je voulais savoir si dans un espace métrique toutes les distances sont subordonnées à une norme ?

Réponses

  • Le mot "norme" est habituellement réservé à une application partant d'un espace vectoriel. En ce sens, ta question n'a pas de sens.
  • Par contre, tout espace métrique est isométrique à un espace normé.
  • Modifié (13 May)
    Bonjour, 
    Attention : tout espace métrique est isométrique à un sous-ensemble d'un espace vectoriel normé. Mais il existe des espaces métriques qui ne isométriques à aucun evn (les compacts par exemple). 
  • Effectivement, la nuance est de taille, merci @Calli
  • DomDom
    Modifié (13 May)
    Bonjour
    Pour ma culture générale, que signifie « distance subordonnée » ici ?
    (Je connais « norme subordonnée », avec le sup sur la sphère, etc.) 
    Est-ce qu’ici ça veut tout simplement dire : il existe une norme telle que pour tout élément $x$ et $y$, $d(x;y)=||x-y||$ ? (avec des e.v.)
    Cordialement.
  • Oui c'est ça @Dom.
  • 👌

    Du coup, dans $\mathbb R$, la distance discrète n’est pas subordonnée à une norme. 
    Si elle l’était on aurait :
    1) $||6(10-2)||=1$ 
    2) $||6(10-2)||=6||10-3||=6$. 
    (En gros la norme ne pourrait être qu’à valeurs dans $\{0;1\}$, ce qui trouble l’homogénéité). 

    Remarque classique : il existe des normes non euclidiennes. 
  • Ah oui, moi je connaissais le nom "Arens-Fells" justement. En regardant sur Wikipédia, j'ai aussi trouvé Kuratowski-Wojdysławski (qui ajoute juste que l'evn ambiant peut être choisi complet). Mais comme c'est impossible de se souvenir d'un nom pareil, je propose de rester sur Arens-Eells. :mrgreen:
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