Orientation d'un espace euclidien

PierreCap

Bonjour.

Suis-je dans l'erreur en pensant que le choix de l'orientation directe de la base d'un espace vectoriel euclidien n'a d'importance qu'à partir du moment où l'on passe à une application numérique ? J'ai fait une analyse perso ici. Qu'en pensez- vous ?

Merci pour votre aide,
Pierre

Héhéhé

Si tu changes de base dans la définition du déterminant de deux vecteurs, le résultat change. Ca n'a rien à voir avec l'orientation.

PierreCap

Bonjour. Oui mais si on passe d'une base orthonormée à une autre base orthonormée (donc si la matrice de passage est orthonormale), le déterminant d'une famille de vecteur reste le même au signe près : si les bases sont de même orientation le signe reste le même. C'est pourquoi on utilise la notion de déterminant pour définir la notion d'orientation de la base.

Héhéhé

Oui bien sûr. Mais quand tu dis : "le choix de l'orientation directe de la base d'un espace vectoriel euclidien n'a d'importance qu'à partir du moment où l'on passe à une application numérique" c'est faux. Quand tu écris 
$$f(x,y) = (x\mid y) + \det{}_bx,y)$$
ta fonction $f$ dépend du choix de la base $b$ (en particulier si tu changes l'orientation), même avant application numérique.

bisam

En fait, tu fais tout un laïus pour expliquer que deux fonctions différentes sont différentes ??

Effectivement, le calcul d'un déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée dépend de la base dans laquelle on se place, mais cela n'a pas grand chose à voir avec l'orientation.

Il serait beaucoup plus pertinent de parler d'une rotation axiale de $\R^3$ et de son angle. Suivant la façon de regarder, on peut voir cette même rotation tourner dans un sens ou dans l'autre. Dans ce cas, la mesure algébrique de l'angle de la rotation dépend de l'orientation choisie (et qui est uniquement déterminée par une orientation de l'axe de la rotation).

En revanche, ton exemple ne prouve absolument rien car ce que tu appelles $f$ devrait en fait s'appeler $f_b$ puisque la fonction dépend de la base $b$.

PierreCap

On dit la même chose je crois. Je dis que la formule littérale sera la même quelle que soit l'orientation de la base choisie. Le changement n'apparaît que si on décide de changer de base.

bisam

C'est bien parce que je l'ai lu entièrement que je te réponds cela.

Par rapport aux inepties que l'on peut rencontrer sur ce forum, c'est un document bien présenté et clair... mais mathématiquement faux.

PierreCap

Excuse-moi, je répondais à Héhéhé. Tu as probablement posté ton message en même temps que je lui répondais et je l'ai pas vu.

Pour répondre à ta réponse, j'ai du mal à comprendre pourquoi ce que j'ai écrit est faux. J'admets volontiers que ma fonction devrait s'appeler $f_b$ car elle dépend de la base $b$. Je dis seulement que je n'ai pas besoin [de] savoir si la base $b$ est directe ou rétrograde. La formule littérale exprimant $f_b$ sera la même dans toutes les bases. Il faut s'intéresser à l'orientation de la base uniquement au moment où on veut changer de base. Ou bien si on veut faire une application numérique car la valeur numérique dépendra évidemment de la base choisie.

C'est vraiment faux ou bien c'est juste mal dit ?

bisam

Tu prétends donner un exemple où il est pertinent de s'intéresser à l'orientation... mais en fait, le résultat dépend plus globalement de la base, et pas uniquement de son orientation. Dit autrement, on peut changer le résultat en changeant de base mais en gardant la même orientation entre les deux bases.

PierreCap

Effectivement, j'ai beaucoup réfléchi et je vois que je me suis polarisé sur un exemple particulier et que j'ai mis en scène un scénario qui en réalité n'a rien de général. Même s'il n'est pas totalement faux.

En fait le résultat d'un calcul vectoriel $f_b(x,y)$ n'est pas forcément bilinéaire. Ensuite s'il l'est, il n'est pas forcément symétrique (défini positif ou négatif) ou alterné. Dans le premier le résultat est indépendant de la base et est forcement de la forme $f_b(x,y)=\lambda (x\mid y)$ et dans le second cas il dépend de l'orientation de la base et est forcément de la forme $f_b(x,y)=\mu \operatorname{Det}(x,y)$. L'exemple de fonction $f_b$ que j'ai pris est une somme des deux, c'est un peu baroque et sans intérêt je pense.

Par contre je ne crois pas que ma fonction $f_b$ change en fonction de la base si on reste dans une base orthonormale de même orientation.

bisam

Effectivement il ne changera pas dans ce cas. Tout comme il ne changera pas non plus si le déterminant de la matrice de passage entre tes deux bases est égal à 1 (auquel cas les deux bases ont la même orientation).