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Volume du tétraèdre orthocentrique

Modifié (12 May) dans Géométrie
Bonjour
Je cherche une démonstration de la belle formule style Héron  que j'ai traduite du site anglophone :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_orthocentrique#Volume_du_tétraèdre_orthocentrique
La référence donnée ne donne rien me semble-t-il ; je pourrais  l'obtenir par la formule de Cayley Menger par élimination en utilisant les deux relations sur les arêtes, mais ce ne serait pas franchement élégant...

Réponses

  • Modifié (13 May)
    Bonsoir,
    Le livre Parmi les belles figures de la géométrie dans l'espace (Victor Thébault, 1955) contient un nombre impressionnant de propriétés sur les tétraèdres. Voir en particulier le théorème page 74, il pourra peut-être aider.
  • Merci pour le scan de Thébault..  ses notations sont difficiles à suivre :  O,A,B,C  sont elles des aires où des points (page 73) ?,  que représentent a,b,c,d ???

    De mon côté j'ai utilisé avec maple la formule de Cayley Menger en éliminant  e et f par les relations a^2+d^2=b^2+e^2,a^2+d^2=c^2+f^2 et je suis bien tombé sur la formule de
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_orthocentrique#Volume_du_tétraèdre_orthocentrique

     à condition que a,b,c soient les trois longueurs des côtés d'une même face (et non trois longueurs issues du même sommet comme je l'avais pris au départ).
    mais avec cette méthode, la belle expression p(p-a)(p-b)(p-c) n'apparait pas naturellement...

  • Modifié (14 May)
    Merci Ludwig de rappeler la mémoire de Victor Thébault (1882-1960), contributeur à de nombreuses revues françaises et étrangères, en géométrie et théorie des nombres. J'avais déjà parlé de son ouvrage : Parmi les belles figures de la géométrie dans l'espace, dans un fil consacré au tétraèdre équifacial : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2353475
    Dans cet ouvrage, comme dans le mémoire de Neuberg donné dans ledit fil, il y a des propriétés très avancées, mais il ne me semble pas qu'on trouve des formules permettant de répondre au souhait de Robert.
    Dans ce fil j'avais cité : P. Couderc et A. Balliccioni, Premier livre du tétraèdre, Gauthier-Villars 1935, qui est un peu plus élémentaire, et comprend tout un développement sur le tétraèdre orthocentrique, avec des formules qui font penser à Héron, mais de loin.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Modifié (15 May)
    La formule donnant le volume d'un tétraèdre en fonction des longueurs de ses côtés a été trouvée par Euler en 1752. Une factorisation en est proposée dans ce document. Par ailleurs il y a une coquille dans la relation vectorielle du paragraphe sur la seconde sphère d'Euler de la page wikipedia. Ci-dessous la preuve d'Euler, extraite du tome IV des Novi commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Et la figure 5 qui va avec. Une bonne journée.

    Correction : Piero della Francesca l'a précédé. Sur cette page wikipedia est décrite la méthode de Piero pour trouver la hauteur d'un tétraèdre.
  • Modifié (15 May)
    Et si on introduisait le cercle circonscrit au triangle $ABC$ pour trouver cette formule du volume ? Car la prouver revient à montrer que le carré de la hauteur du tétraèdre orthocentrique est égal à $BC^2+AD^2- 4R^2$, où $R$ est le rayon de ce cercle.
  • Modifié (16 May)
    Oui voilà ça marche. Soit $B'$ le point diamétralement opposé à $B$. Alors $BB'^2=B'C^2+BC^2=4R^2$. Si $H$ est le pied de la hauteur du tétraèdre issue de $D$, c'est-à-dire l'orthocentre de $ABC$, alors $B'C=AH$ car $AB'CH$ est un parallélogramme. Donc $AH^2=4R^2-BC^2$. Et comme le triangle $AHD$ est rectangle en $H$ on a $DH^2=AD^2-AH^2=AD^2+BC^2-4R^2$. La formule de ta page wikipedia découle de cette dernière égalité, on utilise le fait que $R=abc/4S$ avec $S$ aire de $ABC$.
  • Modifié (16 May)
    Superbe, merci.
  • Bonjour.

    On considère un tétraèdre $ABCD$ et on considère les 4 droites issues d'un sommet et perpendiculaires à la face opposée (les hauteurs). On en prend trois et on détermine le HH les contenant. Il contient la quatrième hauteur. On prend le déterminant de la matrice du HH. On trouve la puissance 4 du volume fois les carrés des différences des carrés des longueurs des arêtes opposées (fois une constante). 
    Lorsque deux de ces différences sont nulles, la troisième aussi et le tétraèdre est orthocentrique. D'où la question: que peut-on dire du HH lorsqu'une différence est nulle, mais pas les deux autres ?

    Cordialement, Pierre.
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