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Questions à résoudre sujet ENS D 2022

Modifié (12 May) dans Analyse
Bonjour 
https://www.cpge-paradise.com/Concours2022/MathD2022.pdf
1/ Résoudre les questions 1.2 ,  1.6  et 4.3 
2/ Écrire un corrigé entier du problème. 
Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    Voilà de quoi occuper OS un certain temps ...........  :)

    Cordialement,
    Rescassol

  • Mis à part 1.1 et 1.3 le reste m'a l'air infaisable.

    Je vais rester sur CCP - Centrale  :open_mouth:
  • Modifié (12 May)
    À première vue, c'est un très beau sujet, qui mobilise diverses disciplines mathématiques autour d'une équation diophantienne, ce qui est bien sympathique. La question 1. 6 m'a étonné pour un sujet de 2022, car il me semble que les intégrales multiples sont hors-programme depuis 2013.
  • Il y a toujours du hors programme à maths D, l'année dernière il fallait démontrer le lemme de sous-additivité de Fekete qui nécessite la connaissance des limites sup et inf qui sont hors programme.
  • Modifié (12 May)
    Chaurien : Des intégrales multiples apparaissent aussi dans le sujet PC X (question 1.a de la troisième partie) https://www.cpge-paradise.com/Concours2022/XMathPC.pdf
    OShine : Les limsup et liminf sont quand même dans l'adhérence du programme, et leur utilisation peut apparaître dans maints exos d'oral ENS
  • Les limites inf et sup sont hors programme : ok, je te crois, savoir ce qui est au programme, c'est ta seule expertise.
    N'empêche que, dans le cadre d'un exercice, on peut parfaitement avancer étape par étape, faire 'découvrir' la notion de limite inf et limite sup, et arriver à la démonstration du lemme de sous-additivité.
    Dans une épreuve de 4heures, ça paraît très raisonnable.

    Si on s'interdit ça, on s'interdit tout exercice.
  • Modifié (12 May)
    Je ne crois pas qu'il y ait beaucoup d'élèves de MP* qui osent se présenter au concours de l'ENS Ulm sans connaître les notions de liminf et limsup.
    Et quand bien même ne les connaitraient-ils pas, le lemme de Fekete est tellement classique qu'ils l'auront probablement traité en exercice dans l'année.
    Ce lemme est également tombé à l'écrit des Mines en 2018.
    Pour les intégrales multiples c'est un peu plus embêtant, mais puisque on intègre sur un produit de segments, on doit pouvoir prouver en deux temps (d'abord une variable puis l'autre) avec un théorème de convergence dominée.
    Techniquement, l'intégrale écrite n'est pas hors programme : c'est une intégrale simple d'une fonction décrite comme une intégrale à paramètre.
    Bon, clairement, ce genre de sujet s'adresse à des élèves vraiment peu nombreux...
  • Modifié (12 May)
    @etanche
    Pour la question 1.2 : 
    On vérifie grâce à 1.1 que $]a,1]$ stable par $P_a$.
    soit $x \in ]a,1]$ on pose  $H_n : P_{n+1}^a(x) \geq  P_n^a(x)$ 
    on regarde le signe de  $P_a(x)-x$ on a $H_0$ vraie.
     soit $n \in N$ on suppose $H_n$ 
    $P_{n+2}^a(x)= P_a(P_{n+1}^a(x))$ par croissance de $P_a$ on a $P_a(P_{n+1}^a(x))) \geq P_a(P_{n}^a)(x))$ d'ou $P_{n+2}^a(x) \geq  P_{n+1}^a(x)$
    on en déduit le que la suite $(P_{n}^a(x))$ est croissante par récurrence.
    Donc la suite $(P_n^a(x))$  est croissante majoré donc elle est convergente or c'est une suite récurrente du type $f(u_n)= u_{n+1}$ donc elle converge nécessairement vers un point fixe de la fonction $P_a$ le seul point fixe de $P_a$ dans $]a,1]$ est $1$.
    Donc on a convergence simple sur $]a,1]$ de $(P_{n}^a) $ vers 1.
    On montre maintenant la convergence uniforme sur tout compact : (ici on aurai peut être pu aussi utiliser les théorèmes de type Ascoli mais je crois que ce n'est pas au programme?)
    Soit $K$ un compact de $]a,1]$
    Soit $\epsilon >0$ on pose pour tout $n \in N$    $U_n = \{ x \in ]a,1], 1-P_n^a(x)< \epsilon\}$
    $U_n$ est un ouvert par continuité des $P_n^a$ et on a le recouvrement ouvert (grâce à la convergence simple) $ K \subset  \bigcup_{n  \in \mathbb{N}} U_n$
    comme $K$ est compact il existe $N_{\epsilon}$ tel que $K \subset  \bigcup_{n  \leq N_{\epsilon}} U_n$ ( Borel-Lebesgue)
    Or comme pour tout $x \in ]a,1] (P_n^a(x))$ est croissante  $  \bigcup_{n  \leq N_{\epsilon}} U_n = U_{N_{\epsilon}}$
    Donc $K \subset U_{N_{\epsilon}}$ 
    Et par croissance de $(P_{n}^a)$ on a $\forall x \in K ~~ \forall n > N_{\epsilon}~~~~, 1-P_n ^a(x)< 1 - P_{N_{\epsilon}}^a(x)< \epsilon$
    Donc  $ \forall \epsilon$ il existe   $\N_{\epsilon}$ tel que $\forall n > N_{\epsilon} ~~ \forall x \in K ~~1-P_n ^a(x)< \epsilon$
    d'ou la convergence uniforme sur tout compact.

    Pour la deuxieme partie de la question on fait un raisonnement analogue en remarquant que sur $[0,a[ $ la suite de fonction $(P_n^a)$ est décroissante.

    edit : pour $U_n$ on prend les $x$ dans ]a,1] 
  • Modifié (12 May)
    Borel-Lebesgue est hors programme
  • Modifié (12 May)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Pour rester dans le programme, il me semble qu'on peut écrire :
    Je note $M$ le compact considéré, et je note $b$ sa borne inférieure :
    $\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq \lvert P_{n}(x) -1\rvert \lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert  $
    Puisque $P(x) \in [0;1]$, on a $\lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert \leq K$, où 
    $K=\sup_{[0;1]} \lvert Q \rvert$; où $Q$ désigne le polynôme $Q(x)=1-\lambda x(x-a)$. On peut alors en déduire que pour tout $x$ dans le compact, on a : 
    $\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K \lvert P_{n}(x) -1\rvert  $
    Par ailelurs, $P_{n}(x) -1 \leq 0$, et $P_n$ étant croissante (par composition), on a alors :
    $\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K (1- P_{n}(x)) \leq K (1-P_n(b)) $
    Soit alors $\epsilon \geq 0$. Puisque $b \in ]a;1]$, la suite $1-P_{n}(b)$ converge vers 0, et il existe notamment $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $n>n_0$ implique $1-P_{n}(b) < \epsilon$. Ainsi, il existe n_0, tel  que : $n \geq n_0$ implique que pour tout $x$ dans le compact, on a :
    $\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert  \leq K\epsilon $
    Soit : 
    $\lvert \lvert P_{n+1}-1\rvert \rvert_M \leq K \epsilon $
    Ce qui signifie, par définition, que la convergence est uniforme. Même chose, ensuite, pour l'autre côté. 
    PS : on peut aussi, plus simplement, utiliser le théorème de Dini (mais je ne suis pas sûr qu'il soit au programme de prépa). En effet, on a : 
      * M est un compact 
      * la fonction vers laquelle $P_n$ converge (la fonction constante égale à $1$, en l’occurrence est bien continue)
      * Pour tout $x \in M$, $P_n(x)$ est monotone (dans le cas précédent, croissante). 
    Donc la convergence est bien uniforme.
  • Le théorème de Dini est un exercice classique en MP*. 
  • Si c'était une épreuve de 6h avec 5 à 10 questions de ce type, pourquoi pas. Mais quel intérêt
    1) de faire une épreuve dont le sujet fait 13 pages et est constitué de 8 parties ?
    2) d'y mettre en plus des questions comme ça ?

    Vu la longueur du sujet, la meilleure stratégie est de sauter la question, sauf si c'est un exo qu'on a déjà fait et qu'on connaît par cœur. Mais du coup, les seuls qui vont la traiter correctement (s'il y en a) sont ceux qui connaissaient déjà la réponse, ou alors ceux qui ont passé une demi-heure (si ce n'est plus) dessus, et qui donc n'en feront pas beaucoup, parce qu'à côté de ça, il reste 12.9 pages de sujet.
  • MrJMrJ
    Modifié (12 May)
    J’ai sûrement loupé quelque chose, mais si on note $b$ la borne supérieur d’un compact $K$ de $[0,a[$, n’a-t-on pas simplement 
    \[ \sup_{x\in K} | P_a^{\circ n}(x) | = P_a^{\circ n}(b) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0\]
    par croissance de la fonction $P_a^{\circ n}$ et par l’étude préliminaire de la convergence simple ?
  • Modifié (13 May)
    Edit : je viens de m'apercevoir que mon message reprend l'argument de Mrj, que je n'avais pas vu.

    Bonsoir, Je m'étais pour ma part contenté de ça:
    Soit $K$ un compact inclus dans $]a;1]$ et $m$ sa borne inférieure.
    Il a été justifié que la suite $\left(P_a^{\circ n} (m) \right) _n $ était croissante , majorée, et telle que  $\displaystyle \lim_{n\to + \infty} P_a^{\circ n}(m) =1$.
    La croissance de $P_a$  et l'inclusion $P_a\left(]a;1]\right) \subset ]a;1]$ font que: $\quad \forall x \in K, \:\:\forall n \in \N, \quad P_a^{\circ n}(m)\leqslant P_a^{\circ n}(x )\leqslant 1.$
    Cette inégalité force donc la convergence uniforme sur $K$ de la suite $\left(P_a^{\circ n} (m) \right) _n $ vers $1$.
  • Modifié (13 May)
    C'est en effet beaucoup plus simple ! 
  • Modifié (13 May)
    Oui vos arguments sont plus simples, quand j'ai vu la question j'ai voulu utiliser les hypothèses à fond alors qu'il suffisait d'utiliser la bornitude du compact.
  • Pour le 4.3 ?
  • MrJMrJ
    Modifié (13 May)
    Pour la 4.3, on peut écrire :
    \[ f’(t) = - B(\gamma(a),\gamma’(t)) = B(f(t)\gamma(t)-\gamma(a),\gamma’(t)).\]
    Les deux vecteurs précédent sont dans $T_{\gamma(t)} \mathcal{H}$, donc on peut appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz d’après la question précédente :
    \[f’(t) \leq \sqrt{B\big(f(t)\gamma(t)-\gamma(a), f(t)\gamma(t)-\gamma(a)\big)} \: n(t) = \sqrt{f(t)^2-1}\, n(t).\]
  • MrJMrJ
    Modifié (13 May)
    Pour la 1.6, il suffit de vérifier le résultat pour les fonctions $e_{u,v}$ : le résultat s’en déduit par linéarité.
  • Modifié (14 May)
    4.4 on intègre $\frac{f’(t)}{\sqrt{f^2(t)-1}}\leq n(t)$ pour $t \in [a;b]$ 
  • Il semble que l'on soit sur de belles mathématiques.
  • Bonjour

    Je profite de l'ouverture de ce fil pour poser une question 

    A la question 2.2   faut il forcément utiliser des résultats d'optimisation sous contrainte ?
    Si oui ,  j'arrive à monter qu'un éventuel extremum de B(v1,v2)  avec v1 fixé dans H et v2 dans H prend la valeur -1 ( atteinte du reste avec v2=v1)
     Mais il s'agit d'une condition nécessaire (obtenue en écrivant que le gradient de la fonction à optimiser et
    celui de la contrainte sont colinéaires)  celà n'est pas suffisant pour en déduire que B(v1,v2) =< -1
    comment procéder ?

    j'ai  aussi pensé écrire v2=a v1 +w1  avec w1 dans v1+ ( cf question précédente)
    on a alors B(v1,v2)= -a
    et utiliser la contrainte B(v2,v2)=-1  mais sans succès ...

    Merci
  • Pour le 2.2 ? 
  • Modifié (25 May)
    Bonsoir,
    Je propose ça: Soient $v_1 =(a,b,c), \: v_2 =(x,y,z) $ des éléments de $\mathcal H: \:\: c=\sqrt{3a^2+ 3b^2 +1}, \:\: z = \sqrt{3x^2+3y^2+1}.$
    $B(v_1,v_2)=3(ax+by)-cz \overset {(1)} \leqslant 3\:\sqrt{a^2+b^2}\:\sqrt {x^2+y^2}-cz \overset{(2)}\leqslant\sqrt{3a^2+3b^2+1}\:\sqrt{3x^2+3y^2+1}-1 -cz =-1$.
    Dans $(1)$, l'égalité est réalisée si et seulement si $(x,y) =\lambda (a,b), \:\: \lambda\geqslant 0.$ Dans $(2)$, elle se produit si et seulement si $a^2+b^2 = x^2 + y^2.$
    Ainsi: $\quad B(v_1,v_2) =-1 \iff v_1=v_2.$
  • Modifié (25 May)
    Bonjour
    Merci LOU16  c'est clair et astucieux.
  • Modifié (25 May)
    Bonjour @LOU16,
    comment tu as fait pour avoir l'inégalité (2) ?

  • Modifié (25 May)
    @ Barjovrille $ \sqrt{u}\sqrt{v} \leq \sqrt{u+1}\sqrt{v+1} -1 $ pour $u, v$ positifs
  • Modifié (25 May)
    @etanche Merci, je ne connaissais pas cette inégalité, 
    j'ai réussi a la démontrer en développant $(\sqrt{u+1} -\sqrt{v+1} -1)^2$ et en utilisant l'inégalité $2ab \leq a^2 + b^2$  pour minorer. Est-ce que vous connaissez une autre façon d'obtenir cette inégalité ?
  • Barjovrille
    Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $(1,\sqrt u)$ et $(1,\sqrt v)$.
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