Matrice et diagonalisation

OShine

Bonjour
Un nouvel exercice d'oral CCINP 2021, horriblement calculatoire. Je bloque à la question 5a...
1) J'effectue l'opération L3 <- L3-L2 et j'obtiens après avoir développé selon la première colonne que $\chi_M(X)=X^3-3X^2+3X-1$.
Donc $\boxed{\chi_M(X)=(X-1)^3}$.
2) L'unique valeur propre est $1$. Déterminons le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$.
Je trouve $E_{1} (M)= (-1,2,1) \R$ donc c'est une droite vectorielle, ainsi, la somme des dimensions des sous-espaces propres n'est pas égale à $3$ donc $M$ n'est pas diagonalisable.
3) On a $(M-I_3)^3=0$. Par la formule du binôme de Newton comme $M$ et $M-I_3$ commutent, on a $M^n= I_3 + n(M-I_3)+  \dfrac{n(n-1)}{2} (M-I_3)^2$.
Donc $\boxed{M^n=\begin{pmatrix}
1-2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 3n+\dfrac{n(n-1)}{2} & -8n - \dfrac{ 3n(n-1)}{2}\\
n^2 & -n^2-2n+1 & 3n^2+4n \\ 
n+\dfrac{n(n-1)}{2}  & -2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 1+5n+\dfrac{3n(n-1)}{2}
\end{pmatrix}}$
4) On a une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé, elle converge si et seulement si chaque composante dans la base canonique $(E_{ij})$ de $M_3 (\R)$ converge. 
Comme $n (n-1) \sim n^2$, on vérifie facilement que $(\dfrac{1}{n^2} M^n)$ converge vers $\boxed{A=\begin{pmatrix}
-1/2 & 1/2 & -3/2\\
1 & -1 & 3 \\ 
1/2  & -1/2 & 3/2
\end{pmatrix}}$

Alexique

T'exagères. $M$ est-elle inversible ? Conclusion ?

bd2017

Bonjour

Le rapport du jury dit que la question 5.a est triviale pour le moins qu'on ait réfléchi 5 secondes.

Pour le 5.b il suffit de voir que l'hypothèse signifie $AX_0\neq 0$

Edit "énormément calculatoire" ...je vois pas l'énormité du calcul. D'autre part ,  corrige ta faute et simplifie $M_n$  (on ne devrait pas dire cela à un prof.)

OShine

Il n'y a pas de rapport du jury, c'est un exercice d'oral non corrigé.
$\det(M)= 1^3=1$ donc $M$ est inversible. Mais je ne comprends pas trop le rapport avec la question $5.a$.

gai requin

Pour tout $n\geq 1$, $X_n=0\Rightarrow X_{n-1}\in\ker M\Rightarrow X_{n-1}=0$.

bd2017

Pour le 5.a tu as trois possibilités

1. Le  50/50

2. Faire appel à un ami

3. L'avis du public. 

Que choisis-tu?  

Mais attention si l'ami est professeur d'université, il  risque de galérer sur la question.  

OShine

@gai requin ok merci, comme $0$ n'est pas valeur propre alors $\ker (M)= \{ 0\}$.

De plus $X_{n-1} = M^{n-1} X_0$ et $X_n =M^n X_0$ donc $X_n= M X_{n-1}$. Si $X_n=0$ alors $M X_{n-1}=0$ donc $X_{n-1} \in \ker (M)$.

Je réfléchis à la dernière question...

gai requin

@OShine : On peut faire la 2) sans calculs parce que $M$ diagonalisable $\Rightarrow M=I_3$.

OShine

Oui bien vu ! Je me suis embarqué dans de calculs longs et pénibles (résolution de système linéaire à 3 équations et 3 inconnues) alors qu'on pouvait utiliser le changement de base dans une base de diagonalisation.

OShine

Je ne vois pas du tout comment chercher la dernière question. Je ne comprends pas vraiment le lien avec ce qui précède. 

Alexique

Comme $M$ est inversible, si $X_n=0$, alors $0=M^{-n}X_n=X_0$ ce qui est absurde. Le raisonnement avec le noyau est équivalent mais je le trouve à peine moins immédiat dans la rédaction. 

Bon voilà ma réflexion : quand je vois $\sqrt{x_n^2+y_n^2+z_n^2}$ au dénominateur, je me dis "tiens c'est la norme euclidienne du vecteur $(x_n,y_n,z_n)$". "Oh mais quel heureux hasard, il s'avère que dans l'exo, ce vecteur a un nom, il s'appelle $X_n$ et on sait déjà des choses sur le comportement asymptotique de ce $X_n$ (puisqu'on sait des choses sur $M^n$), incroyable non ?" Et encore plus fou, on va donc pouvoir en déduire un équivalent du terme général de la série !

Voilà, ce qui doit se passer dans ta tête. Mais laisse moi deviner : tu regardes et tu te dis "flemme, dernière question de l'exo donc elle doit être difficile, je vais demander aux gens". Bon maintenant que je t'ai dit tout ça, tu vas t'appliquer à faire une belle solution pour faire genre "tu as bossé" mais bref, le mal est déjà fait. 

OShine

@Alexique en effet oui c'est plus simple avec ton raisonnement.

gai requin

5)b) se traite bien en utilisant 4).

OShine

D'accord merci mais je n'aboutis pas. Je fais des calculs mais je ne comprends pas trop où je vais.

On a $X^n =M^n X_0$ donc $\dfrac{1}{n^2} X_n = \dfrac{1}{n^2} M^n X_0$

Donc $\boxed{\dfrac{1}{n^2} X_n \longrightarrow AX_0}$

Ce qui signifie qu'en prenant la norme euclidienne que $|| \dfrac{1}{n^2} X_n - AX_0|| \longrightarrow 0$.

Mais $AX_0 = \begin{pmatrix}
-1/2 & 1/2 & -3/2\\
1 & -1 & 3 \\ 
1/2  & -1/2 & 3/2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\ 
z_0
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-x_0 /2 +y_0/2 -3z_0 /2\\
x_0 -y_0+3z_0 \\ 
x_0/ 2 -y_0/2 + 3z_0 /2
\end{pmatrix}$

gai requin

Donc $\dfrac n{\lVert X_n\rVert}\sim\dfrac 1{n\lVert AX_0\rVert}$.

OShine

Je vois l'idée mais dans le cours j'ai uniquement $\dfrac{1}{n^2} X_n \longrightarrow A X_0$ si et seulement si $|| \dfrac{1}{n^2} X_n - A X_0|| \longrightarrow 0 $.

Je ne comprends pas comment tu passes aux équivalents, je n'ai pas étudié les équivalents avec les normes, j'ai juste des propriété sur les o et les O avec les normes.

Alexique

Tu peux essayer à partir de là de montrer que $||\frac{1}{n^2}X_n|| \rightarrow ||AX_0||$ ou d'invoquer un argument du cours qui rend cela évident. Mais en effet, faire des équivalents de matrices est prohibé bien que je n'ai rien écrit de tel, ni gai requin.

gai requin

Et la continuité de la norme ?

Alexique

@gai requin : c'est bien l'argument auquel je pensais. Mais par contre, je sais que tu sais, OS visiblement non donc c'est pour ça que je l'invite à le redémontrer... 

OShine

Si j'ai étudié la continuité de la norme dans le chapitre sur la continuité des applications à valeur dans un espace vectoriel. 

Merci je vais essayer de terminer. 

bd2017

Je ne vois pas ce qu'il y a à terminer puisque @JLapin a donné la solution!

Si tu n'aimes pas les équivalents :

Puisque  $\dfrac{n^2}{||X_n||}$   tend  vers  $\dfrac{1}{||AX_0||}$   alors "pour $n$ assez grand" on  a   $\dfrac{n}{||X_n||}\geq \dfrac{1}{2 n ||AX_0||}$ 

ce qui explique que la série de terme général  $\dfrac{n}{||X_n||}$ est divergente.

OShine

Merci. 

Alexique

Il convient de montrer que $||AX_0||\neq 0$ quand même. Mais bon, oui, le gros est fait. Par contre, je ne vois pas où Jlapin a donné la solution.

Je pense qu'on est tous un peu coupable de donner trop d'indices ou des indices trop gros. Par exemple "peux-tu exprimer le terme général en fonction de $X_n$ ?" puis "peux-tu trouver un équivalent simple de $\frac{n}{||X_n||}$ ? Evidemment, ça fait que le topic fait 150 posts au lieu de 10 mais peut-être qu'il fera un peu par lui-même. Mais je vous rejoins : si on doit l'aider et le relancer plus de 2 fois sur une question, c'est déjà trop. Le jour-j, il aura maximum une seule indication en sachant que la plupart des questions n'en ont pas. Bon, là, c'est un exo d'oral donc il va y avoir discussion... J'aimerais bien voir ça !

lourrran

Quand tu dis :   'Si ,j'ai étudié la continuité de la norme' ...
Tu dis en fait 'Non, je n'ai pas d'excuse, c'et bien un truc que j'ai étudié, et comme d'habitude, je l'ai étudié, mais je suis incapable de faire le rapprochement.'
Et à aucun moment, tu ne tires la conclusion : J'étudie plein de trucs, mais je suis systématiquement incapable de les utiliser.

Alexique

Oui, c'est même pire que ça. Je lui propose d'invoquer le cours, ou, s'il ne sait pas, de redémontrer cette continuité de la norme. Quand on lui dit que c'est cet argument qui fait marcher le truc, il dit "ah mais je sais, c'est dans le cours !" Comme ça, plus besoin de redémontrer (parce que pour OS, cours=pas besoin de savoir démontrer) et de bosser tellement il est fainéant. Maintenant que j'ai écris ça, il va sûrement se bouger et faire vite fait la preuve pour se donner bonne conscience. Mais OS, laisse tomber, c'est encore trop tard, le mal est fait. Tu vas la recopier d'un bouquin et ça ne m'intéresse pas. 

OShine

En effet, je ne me souviens plus trop comment démontrer la continuité de la norme mais il me semble que ça vient du fait qu'en dimension finie toute application bilinéaire est continue, et il y a le lien avec le produit scalaire.

$||A X_0||$ est non nul car la deuxième coordonnée qui est $x_0-y_0+3z_0 \ne 0$ par hypothèse.

bisam

Oui, bien sûr car chacun sait que toutes les normes proviennent d'un produit scalaire... N'importe quoi !!

La continuité de la norme vient tout simplement de la deuxième inégalité triangulaire qui prouve que la norme est 1-lipschitzienne !

Alexique

Conneries sur conneries ! A l'oral, le candidat qui répond "inégalité triangulaire inversée", on va le laisser tranquille et repartir sur une autre question parce qu'on sait qu'il sait faire. Toi, on va pas te lâcher pendant 20 mn, pour voir la quantité de bêtises que tu vas sortir jusqu'à un prévisible "burn out" du jury ou de l'examinateur qui va écourter l'entretien très probablement.

En fait, les 3 coordonnées sont non nulles mais même ça, tu ne l'avais pas vu... Et puis, j'ai du te dire de montrer que $||AX_0|| \neq 0$, toujours pas un réflexe autonome. Rappelle moi en quelle classe on apprend qu'un dénominateur nul, c'est pas très beau ? C'est pas au lycée en tout cas !

JLapin

Alexique a dit :

Il convient de montrer que $||AX_0||\neq 0$ quand même. Mais bon, oui, le gros est fait. Par contre, je ne vois pas où Jlapin a donné la solution.

Moi non plus

bd2017

Hello,  si vous  lisez !  J'ai dit tout d'abord    que  l'hypothèse  sur  $X_0$  dit  que $AX_0\neq 0.$  Ensuite @Jlapin a dit  que  $n^2X _n $ tend vers $AX_0$    et donc   que   $n/||X_n||\sim  1/n ||AX_0||$  alors si avec ça on estime que la solution n'est pas donnée...

IL n'y a rien à terminer mais simplement à comprendre ce qu'il fallait faire...

Bref comme  d'hab.  on lui a donné la solution  et de toute façon c'était prévisible  quand  on voit  qu'il n'a  même pas su faire 5.a.

"Terminer" consiste   pour @Os à fournir  une sorte de rédaction de la solution ou d'un corrigé qu'on lui a donné. Pour moi, vu tous les éléments qu'on lui a donné ,  il n'y rien  à terminer puisque tout est déjà sur la table...

Alexique

@bd2017 : tu confonds ce pauvre @JLapin qui n'y est pour rien sur ce coup, avec @gai requin. Mais oui, tu avais déjà fait remarquer que $AX_0 \neq 0$, désolé, ma faute. Et je m'inscris également, à tort, dans les gens qui donnent trop vite la solution parfois. J'ai l'impression que dans le supérieur, "aider", c'est donner la solution ou des éléments de correction au lieu de donner des idées. "Que penses-tu de blabla ?" ou "Que peux-tu dire de blabla... ?" sont des formulations qui permettent d'orienter la réflexion sans donner l'assertion mathématique à démontrer. Il faut l'amener à trouver ce qu'il faut montrer puis le laisser démontrer.

bd2017

Oui j'ai confondu.

gai requin

Confondre un lapin et un requin, faut le faire