Limite exponentielle
Bonjour,
Je cherche a calculer cette limite sans utiliser DVL, si quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît, merci d'avance
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x} )^{2}}$, je suis bloqué.
Je cherche a calculer cette limite sans utiliser DVL, si quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît, merci d'avance
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x} )^{2}}$, je suis bloqué.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
ton identité initiale est fausse au second membre.
En fait tu dois écrire ta limite : $\lim\Big(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{4\sinh^2\frac{x}{2}}\Big)$
avec $\sinh(x/2)$ le sinus hyperbolique de $x/2$.
On pose $2X = x$
Soit donc $\lim\Big(\dfrac{1}{4X^2}-\dfrac{1}{4\sinh^2X}\Big)=\lim\dfrac{(\sinh X-X)(\sinh X+X)}{4X^2\sinh^2X}$.
Soit encore $\lim\dfrac{X^4}{12X^4}= \dfrac{1}{12}$.
Cordialement.
comment on peut trouver ça sans développement
Merci.