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Une intégrale difficile

Modifié (11 May) dans Analyse
Bonjour,
je n’arrive pas à trouver une piste correcte pour calculer cette l'intégrale : $$\int x(1+nx^n)^{1/n} dx.$$

Réponses

  • Quelles sont les bornes d'intégration?
  • Dès que n>2 , bornes ou pas ------>  Fonctions speciales
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    Citation en cours
  • Modifié (11 May)
    Avec les bornes $0$ et $+\infty$ et le changement de variable $u(x)=nx^{n}$ formellement on se ramène à quelque chose qui ressemble à l'expression d'une fonction Bêta. Mais cela ne colle pas pour les exposants de $u$ et de $1+u$ si je vois bien.
  • Modifié (11 May)
    @Fin de partie    as-tu pris ton café  matinal ?  Entre les bornes 0 et + l'infini l'intégrale  diverge, non ?
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    Citation en cours
  • Modifié (11 May)
    @Gebrane: $n$ n'est pas fixé, c'est à priori, un réel quelconque.
    On a $$\text{B}(x,y)=\int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt,$$ avec $x>0,y>0$
    Si on fait le changement de variable préconisé on va se retrouver avec un produit de $u^\alpha$ et $(1+u)^\beta$, le souci est que les exposants $\alpha$ et $\beta$ ne vont pas. L'intégrale n'est pas convergente quelque soit $n$ réel, si j'ai bien vu.
  • Modifié (11 May)
    Normalement la lettre  n est pour désigner  un entier naturel ! .
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    Citation en cours
  • n est un entier naturel et l’intégrale sans bornes.
    je n’ai toujours rien trouvé. 

  • Modifié (13 May)
    Tu peux faire une IPP pour te débarrasser du facteur $x$.
    Il y a effectivement une primitive explicite.
  • Bonjour @JLapin
    Peut-on savoir cette mystérieuse ipp qui donne une primitive explicite  (avec les fonctions usuelles ?)
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    Citation en cours
  • Désolé, j'avais mal lu l'énoncé et répondu au calcul d'une primitive de $x\mapsto x(1+nx)^{1/n}$ à la place...
  • Modifié (13 May)
    Merci d'avoir eclairé.
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    Citation en cours
  • JJJJ
    Modifié (13 May)
    \begin{align*}n=1\ :&\qquad \int x(1+x)dx=\frac16 x^2(2x+3)+c\\n=2\ :&\qquad \int x\sqrt{1+2x^2)}dx=\frac16\left((1+2x^2)^{3/2}-1\right)+c\\n>0\  :&\qquad\int x(1+nx^n)^{1/n}dx=\frac12 x^2\:_2F_1\left(-\frac{1}{n}\:,\:\frac{2}{n}\:,\:\frac{n+2}{n}\:,\:-nx^n\right)+c\end{align*}$_2F_1$ : fonction hypergéométrique de Gauss. En général ($n>2$) n'est pas exprimable avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
  • C'etait dit dans mon premier message ----> fonctions spéciales  
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    Citation en cours
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