Urne, tirage avec remise et variable aléatoire — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Urne, tirage avec remise et variable aléatoire

Modifié (10 May) dans Algèbre
Bonjour,
1) Pour tout $i,j \in [|1,n|]$, avec $i \ne j$, on a $A_i \cap A_j = \emptyset$ car il n'y a qu'un seul jeton par numéro.
On a $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$ car on tire forcément un numéro compris entre $1$ et $n$.
On a bien un système complet d'évènements.
2) Je ne vois pas comment faire. 

Réponses

  • La question 1 est une indication.
  • Question 2, voici quelques indications :  
    Q2a) Lister tous les types de lois que tu connais.
    Q2b) Donner les définitions de chacune de ces lois
    Q2c) Reconnaître parmi toutes ces définitions celle qui correspond à la situation de l'exercice.

  • Ah bah non, @lourran, ça, c'est la question 3.
    Clairement, celui qui a posé l'énoncé s'attend à un calcul pour la question 2.
    Ce calcul peut effectivement se faire avec la question 1 et une hypothèse raisonnable pour la modélisation.
  • @Héhéhé je ne trouve rien dans le cours sur les variables aléatoires qui permet d'utiliser un système complet d'évènement, la formule est dans le chapitre sur les probabilités d'un évènement mais pas le chapitre sur les variables aléatoires.
    Après ça me fait penser à la formule des probabilités totales mais je ne vois pas trop comment l'utiliser ici avec des variables aléatoires.

    @lourrran

    Je pense que c'est la loi uniforme. $X$ suit une loi uniforme sur $[|2,n|]$ si $X(\Omega)= [|2,n|]$ et pour tout $k \in [|2,n|] \ P(X=k)=\dfrac{1}{n-2+1}= \dfrac{1}{n-1}$.
  • - avec la remise du jeton tiré, $X(\Omega)$ ne s'arrête pas à $n$.
    - j'introduirais bien une variable aléatoire de Bernoulli $Y_{k,i}$ : "le jeton $k$ est tiré au $i$-ème tirage", ce qui permettrait de calculer $P(X=m|A_k)$ comme probabilité d'une intersection d'évènements $(Y_{k,i}=1)$ et d'un complémentaire
  • OShine a dit :
    @lourrran
    Je pense que c'est la loi uniforme. $X$ suit une loi uniforme sur $[|2,n|]$ si $X(\Omega)= [|2,n|]$ et pour tout $k \in [|2,n|] \ P(X=k)=\dfrac{1}{n-2+1}= \dfrac{1}{n-1}$.
    Oui, bien sûr. Donc $\mathbb{P}(X=2)=1$ et toutes les autres probas sont nulles. Bref, on est sûr que $X$ est constante ps égale à 2. Tu te fous vraiment du monde, même pas un peu de recul et de critique sur ce que tu proposes. 
    Si tu ne vois pas comment utiliser les proba totales alors qu'on te propose un système complet d'événements, j'ai encore une fois très envie de te dire d'arrêter là le massacre et d'aller bosser le cours de lycée de proba et les exos associés.
    Tu n'as même pas une idée intuitive du support de $X$ donc tu n'as déjà rien compris à l'énoncé de toute évidence.
  • Modifié (10 May)
    J'ai mal compris, je corrige on a $X(\Omega)=[|2,+\infty |[$.
    J'ai relu le cours de MPSI je ne trouve pas de formule qui lie un système complet d'évènement avec une variable aléatoire.
  • Il faut utiliser les événements que crée la variable aléatoire. Par exemple, ici, on regarde l'événement $(X=m)$ sachant que $A_k$ est réalisé, ce qui veut dire qu'on tire $m-1$ fois le jeton $k$ puis un autre jeton.
  • Modifié (10 May)
    Oui d'accord merci. Voici une tentative mais je ne suis pas sûr du tout.
    D'après la formule des probabilités totales, on a $P(X=k) = \displaystyle\sum_{k=1}^n P( (X=k) \cap  A_k)=\boxed{ \displaystyle\sum_{k=1}^n P(A_k) P( (X=k) | A_k)}$
    Or, $P(A_k)=\dfrac{1}{n}$. 
    Et $ \{(X=k) | A_k) \}$ se réalise si on tire le jeton $k$ au premier tirage et si lors des tirages n°2 à n° k-1 on tire un autre jeton puis on tire le jeton $k$ au tirage $k$.
    Ce qui donne : $P(  \{(X=k) | A_k) \} )= \dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{ (n-1)^{k-2}} \times \dfrac{1}{n}$ par indépendance des tirages.
    Finalement $\boxed{P(  \{(X=k) | A_k) \} )=\dfrac{1}{n^2} \dfrac{1}{ (n-1)^{k-2}}}$.
  • Il y a un mélange détonnant de $k$ ! 
  • Modifié (10 May)
    Oui j'aurais du choisir un autre indice de sommation pour la somme et j'ai des erreurs. Je corrigé tout ça.
    Je trouve $\forall i \in [|2,+\infty |[ ,\ \  P(X=i)= \displaystyle\sum_{k=1}^n P( A_k ) P ( (X=i) \mid A_k)$
    Calculons :  $P(A_k)=1/n$ et $ P ( (X=i) \mid A_k) $.
    Si on tire le jeton numéro $k$ au premier tirage, alors il faut tirer pour les tirages $2$ à $i-1$ le même jeton $k$ ce qui fait à chaque fois une probabilité de $1/n$ et au ième tirage on tire un jeton différent donc une probabilité de $1/ (n-1)$.
    Donc $P(A_k)=1/n$ et $ P ( (X=i) \mid A_k) = \dfrac{1}{n^{i-2}} \dfrac{1}{n-1}$
    Ainsi, $\forall i \in [|2,+\infty |[, \ \  P(X=i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n  \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{n^{i-2}} \dfrac{1}{n-1}$
    Soit $\forall i \in [|2,+\infty |[ ,\ \  P(X=i)= \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{n^{i-2}} \dfrac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{k=1}^n $
    Enfin  $\boxed{\forall i \in [|2,+\infty |[, \ \  P(X=i)=\dfrac{1}{n^{i-2}} \dfrac{1}{n-1} }$
    Vérification : si $i=2$ alors $P(X=2)= \dfrac{1}{n-1} $ ça semble logique pour obtenir un jeton différent du jeton obtenu au premier tirage, il faut simplement exclure le jeton tiré au premier tirage, ce qui fait une chance sur $n-1$.
  • Modifié (10 May)
    Beaucoup mieux mais, outre le fait qu'il faudrait probablement parler de l'indépendance des tirages : la probabilité d'avoir un jeton différent est $\frac{n-1}n$, donc $P(X=i)=\frac1{n^{i-2}}\frac{n-1}n=\frac{n-1}{n^{i-1}}$.

    Autre chose : en toute rigueur, $X=+\infty$ n'est pas exclu. On peut vérifier que sa probabilité est nulle car la somme des $P(X=i)$ vaut $1$.
  • "Beaucoup mieux", faut pas exagérer quand même, c'est avec des encouragements comme ça qu'il pense progresser et ne pas être totalement à l'ouest.
    Il prétend quand même que si j'ai 3 boules, la proba de ne pas en tirer une en particulier est 1/2,
    Et encore une fois, il fallait qu'il trouve ça tout seul. Lui donner la réponse sur des choses aussi simples et élémentaires ne le fera pas avancer. 

    Bilan après cette question : laborieuse application des proba totales, incompétence dans la manipulation de sommes, de variables muettes, calcul faux du type $\frac{\text{cas favorables}}{\text{total des cas}}$ (la base pour calculer la proba d'un événement connaissant la proba des événements élémentaires qui le composent)... Bref, son casier est plein je crois, encore une fois sur un CCP qui se fait en terminale grand max.
  • OShine a dit :
    @Héhéhé je ne trouve rien dans le cours sur les variables aléatoires qui permet d'utiliser un système complet d'évènement, la formule est dans le chapitre sur les probabilités d'un évènement mais pas le chapitre sur les variables aléatoires.
    C'est vraiment hallucinant de lire ceci...
  • Modifié (10 May)
    @Alexique c'est un niveau au-dessus de la terminale quand même, rien que la manipulation des sommes et des indices. Je n'ai jamais vu un exercice de bac de ce niveau. 
    Oui j'ai fait des erreurs mais je vais essayer de terminer proprement.

    @Gache merci beaucoup, encore une erreur d'étourderie.
    On a $P(X=i)=\dfrac{n-1}{n^{i-1}}$ pour tout $i \in [|2,+\infty|]$.
    La question $3$ je pense savoir faire. Posons $u : x \mapsto x-1$. On pose $Y=u(X)=X-1$ alors $\boxed{Y(\Omega)= [|1,+\infty|]}$.
    Pour tout $y \in u(X)(\Omega) \ \ P( u(X)=y) = \displaystyle\sum_{x \in u^{-1} (\{ y \}) } P(X=x)$ (formule du cours de MPSI)
    Mais $u(x)=y \Leftrightarrow x-1=y \Leftrightarrow x=y+1$ ($u$ est bijective)
    Donc $\forall y \in  [|1,+\infty|] \  P( Y= y)=  P(X=y+1)$
    Ainsi $\boxed{\forall j \in  [|1,+\infty|]  \ P(Y=j)=P(X-1=j)= \dfrac{n-1}{n^{j}}}$
    J'essaierai la question $4$ demain, je suis fatigué.
  • L'écriture $\frac{n-1}n=1-\frac1n$  fait la loi ... 
  • Je n'ai pas compris.
  • J'ai compris c'est une loi géométrique. 
  • OS : @Alexique c'est un niveau au-dessus de la terminale quand même, rien que la manipulation des sommes et des indices. Je n'ai jamais vu un exercice de bac de ce niveau. 

    Les sommes, j'ai un exo dessus dans mon bouquin de 1ère. Je vois pas où tu vois un changement d'indice dans la question 2. Par ailleurs, avec les intégrales, les élèves sont censés maitriser que s'il y a un dx, on peut pas avoir du x en dehors, erreur grossière de ta part. J'ai également la formule des proba totales dans ce même manuel avec un système complet de 3 événements et avec le système "événement U son contraire".  Pour ma part, à mon époque, je voyais avec le binôme de Newton le symbole somme en terminale et sa démonstration par récurrence demandait un changement d'indice (il y a 10 ans). Tes arguments qui consistent à dire "c'est pas ça le lycée" sont bancals. En théorie, les lycéens ont les outils pour faire cet exo. Dans la pratique, il serait réussi par peu d'entre eux évidemment, ils ne sont pas prof de maths, ils n'ont pas fait prépa, n'ont pas posté depuis 5 ans des milliers de topics sur un forum etc...

    Tu trouves franchement que la question "si j'ai 3 boules rouge verte bleue, quelle est la proba de ne pas tirer la boule verte ?" est une question au-dessus de Terminale ? Je peux la mettre en application de cas favorables/cas total en 2nd sans souci. 2 boules pas vertes restantes sur 3 au total, ça fait pas 1/2, mon grand, désolé. Et je pense que toute la classe trouve la réponse ! Et si après, je remplace 3 par $n$ aussi. Avec $n$ directement, je ne sais pas mais certains trouveront, c'est sûr.

    loi géométrique oui... C'est du cours puisque tu nous dis que tu abordes les exos en ayant vu le cours associé. En même temps, la loi est une suite géométrique en $j$ donc bon, c'était pas sorcier à voir mais ça montre que tu ne connais pas ton cours encore une fois.

  • Si tu as entendu une fois dans ta vie le mot 'loi géométrique' et si tu as lu une fois la définition, normalement, en lisant l'énoncé de l'exercice, tu réagis : 'ok, c'est une loi géométrique, cool'.

    L'élève faible, il sait répondre à la question : donner la définition d'une loi géométrique.
    L'élève moyen, il sait faire la démarche dans l'autre sens, il sait dire : tiens, cette expérience, ça correspond exactement à la définition de la loi géométrique.
    C'est en gros la différence entre l'élève faible et l'élève moyen. L'un connaît la définition, et l'autre reconnaît la situation où la définition s'applique.
  • A propos de la question 4, tu dis "J'essaierai demain"... mais normalement, sans même avoir fait le reste de l'exercice, tu devrais déjà savoir ce qu'il faut faire pour répondre à cette question.
    C'est la différence entre celui qui utilise son cours et celui qui le connait.
  • Modifié (11 May)
    La loi géométrique n'est pas dans le cours de MPSI je ne l'ai pas encore étudiée. 
    Mais j'ai fait des recherches sur wiki.
  • Modifié (11 May)
    Il y a quand même une subtilité par rapport à l'apparition de la loi géométrique : celle-ci intervient une fois le premier tirage effectué.  On pourrait inverser 3 et 2 et ne pas faire 1.
  • Modifié (11 May)
    La loi géométrique n'est pas dans le cours de MPSI je ne l'ai pas encore étudiée.
    Je connais personnellement des élèves qui ont étudié la loi géométrique... en Terminale !
    Mais bref, à quoi bon t'obstiner à faire des exercices sur des sujets que tu n'as pas encore étudiés ???
  • La loi géométrique est même au programme de l'option Maths en Terminale!
  • Si on va par là, il n'y a pas de $Y(\Omega)$ infini en Mpsi.
  • Tu fais le programme de MPSI avant de faire le programme de lycée, c'est donc normal si tu n'as pas encore vu ce chapitre. Tout est normal, à part tes méthodes de travail.
  • Modifié (11 May)
    Oui c'est vrai, $Y(\Omega)$ est fini en sup.
    Je ne savais pas que c'était vu en terminale !
    @bisam après ici la loi géométrique n'est pas compliquée à comprendre, en lisant rapidement sur wikipédia on comprend vite.
    Ici c'est $Y$ qui suit une loi géométrique car $P(Y=j)=(1-\dfrac{1}{n} ) \dfrac{1}{n^{j-1}}$ donc $Y $ suit une loi géométrique de paramètre $1-\dfrac{1}{n} $.
    Posons $p=1-1/n= \dfrac{n-1}{n}$ et $q=1/n$
    Ainsi, $E(Y)=1/p$ et $V(Y)=q/p^2$
    Donc $\boxed{E(Y)=\dfrac{n}{n-1}}$ et $\boxed{V(Y)=\dfrac{n}{(n-1)^2}}$
    Mais $E(X)=E(Y+1)= E(Y)+ E(1)$ donc $\boxed{E(X)=\dfrac{n}{n-1} +1}$
    $V(X)=V(Y+1)$ je ne vois pas comment calculer la variance.
  • Si tu veux vraiment comprendre pourquoi la loi géométrique intervient : une fois tiré le premier jeton, on considère comme un succès de tirer un autre jeton (probabilité $(n-1)/n=1-1/n$) et comme un échec de retirer le même (probabilité $1/n$).
    Les tirages étant sans remise, les résultats sont indépendants : Y=X-1 retourne donc le numéro du tirage du premier succès dans la répétition de ces tirages, d'où la loi géométrique trouvée.
    C'est dans ce type de contexte qu'on voit apparaître une loi géométrique.

    Par contre, ta remarque sur la variance est difficile à comprendre : regarde bien le programme de ... Mpsi dont tu sembles assez fan lol (V(aY+b)=?)
  • Modifié (11 May)
    Merci $V(aY+b)=a^2 V(Y)$. En fait dans les sujets de concours, la variance intervient très peu, donc j'ai oublié.
    Donc $\boxed{V(X)=V(Y)=\dfrac{n}{n-1}+1}$
    Oui la loi géométrique intervient une fois le premier jeton tiré, d'où la question 3 et la loi de $Y=X-1$. 
    Cet exercice est cool. 
  • Modifié (11 May)
    OShine a dit : Donc $\boxed{V(X)=V(Y)=\dfrac{n}{n-1}+1}$
    Tu as recopié la formule de $\mathbb{E}(X)$... Même faire le bon copier-coller, tu n'y arrives pas. De là à dire que tu tapes tes posts sans aucune réflexion, il y a moins d'un pas. 

    L'exercice est cool ? C'est ça ta conclusion, ton ressenti à l’issue de tes péripéties mathématiques ? Mets le sur instagram avec un hashtag "exo trop cool" alors. Mais bon, je suis mauvaise langue. Après tout, s'il t'as plu, tant mieux. 

    Bilan : tu as fait la 1), la 2) c'est clairement non même avec l'aide fournie (on s'y est repris plusieurs fois sans que ça suffise), la 3) tu as fini par trouver le lendemain en revoyant tes lois de référence (donc le jour-j, sur la copie c'est fichu) et la 4) un grand non. Avec rappel des proba totales en 2), de la loi géométrique en 3) et de la propriété sur la variance en 4), que des trucs de lycée.
    Tu vois, autant en algèbre, quand tu bosses les espaces vectoriels, les groupes, les matrices etc, je peux difficilement te rentrer dedans parce que l'algèbre au lycée, à part le 2nd degré, y a vraiment pas grand chose, autant en analyse et en proba, tu es cuit.
  • Après je suis faible en proba je suis bien meilleur en algèbre linéaire et en analyse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!