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Intégrabilité d'une fonction

Modifié (9 May) dans Analyse
Bonjour,
comment étudier l'intégrabilité en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\sqrt{\pi}}{2} - \int_0^x  e^{-t^2} dt $ ?

Dans le même style, j'ai étudié l'intégrabilité  en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\pi}{2} -\arctan(x)$ (non intégrable) ou $x \mapsto 1-\tanh(x)$ (intégrable) mais celles-ci sont plus faciles car la fonction est explicite, pas d'intégrale.
Vous remerciant par avance.
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Réponses

  • On peut récrire la fonction $x\mapsto \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\, dt$. L'idée est de majorer $e^{-t^2}$ par une fonction qui soit à la fois suffisamment décroissante et de primitive connue.
  • Ah oui bien sûr ! Par exemple avec $e^{-t}$ ...et le tour est joué  :)
  • Modifié (9 May)
    On peut même calculer $ \int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} e^{-t^2}dt)dx$, on trouve un résultat très simple.
  • @Chaurien : ah oui ? aucune idée comme ça ...IPP ?
  • Cela me rappelle la somme des restes d'une série convergente (tu nous en avais parlé il y a bien des années) mais en version continue...!
  • On peut calculer l intégrale de @Chaurien par la baguette magique Fubini, ( donc sans ipp)
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    Citation en cours
  • Euh je connais le théorème de Fubini mais pas avec des intégrales impropres + une des bornes est une variable  !!
  • Par Fubini, je veux dire transforme  l'integrale en dt.dx en une intégrale  en dx.dt
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    Citation en cours
  • @Chaurien : on trouve $1/2$ ? 
  • Modifié (10 May)
    Oui, il me semble que c'est 1/2, mais moi je préfère les solutions élémentaires, donc sans Fubini.
    Une IPP suffit, avec évaluation de $F(x)= \int_x^{+\infty} e^{-t^2}dt$ quand $x \rightarrow + \infty$.
    On peut calculer aussi de même $\int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} \frac {\sin t }t dt)dx$, toujours sans Fubini.
  • Je ne comprends pas où se trouve le deuxième sinus cardinal ?
  • totem, excellente remarque ! Il est intéressant de noter les analogies entre séries et intégrales, discret et continu.
  • Il ne manque pas $x$ devant ton intégrale pour $F(x)$ ? 
  • @totem Peux tu appliquer ma suggestions.  Tu vas adorer  la methode 
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    Citation en cours
  • Modifié (10 May)
    @gebrane : j'ai essayé, mais je bloque sur le calcul une fois permutées les intégrales...
    $\int_x^{+\infty} e^{-t^2}(\int_0^{+\infty}dx)dt = ?? $
  • Modifié (10 May)
    Tu es bloqué car les bornes sont fausses.
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    Citation en cours
  • Tu as mal géré tes variables dans l'échange.
    Fais le avec une somme triangulaire du type $\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n a_{i,j}$ pour commencer.
  • Modifié (10 May)
    Ce ne serait pas par hasard : 
    $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\Big(\int_0^t dx\Big)dt = 1/2 \ ?  $
    Si c'est juste, j'ai trouvé à tâtons, je ne connais pas la méthode systématique pour trouver les  bornes d'intégration lors de la  permutation de l'ordre des intégrales dans les intégrales doubles comme ici.  
  • La méthode systématique, c'est de faire preuve de bon sens :
    ici, soit tu fixes $x$ et fais varier $t$ dans $[x,+\infty[$
    soit tu fixes $t$ et fais varier $x$ dans $[0,t]$.
    Dans les deux cas, tu peux résumer les "contraintes sur $x$ et $t$" ainsi : $0\leq x\leq t <+\infty$.
  • Modifié (10 May)
    Pour comprendre un peu mieux. Dessine  le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (1,1). Pour intégrer sur ce triangle, tu as deux façons :smile:
    -suivant des coupes // à ox 
    -suivant des coupes // à oy
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    Citation en cours
  • Pour revenir à la méthode de JLapin, tu peux le voir comme ça

    $\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\, \mathrm{d}x =\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty}1_{t \geq x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\, \mathrm{d}x = \displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty}1_{t \geq x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}t  = \displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^t e^{-t^2}\,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}t $
  • Modifié (10 May)
    Bonne idée d'exposition de sevaus.  Je préciserais ainsi :
    $\int_{0}^{+\infty }(\int_{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt)dx=\int_{0}^{+\infty}(\int_{0}^{+\infty }1_{t\geq x}(x,t)e^{-t^{2}}dt)dx$
    $~~~~~~~~~~~~=\int_{0}^{+\infty }(\int_{0}^{+\infty }1_{t\geq x}(x,t)e^{-t^{2}}dx)dt=\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}(\int_{0}^{+\infty }1_{t\geq x}(x,t)dx)dt$
    $~~~~~~~~~~~~=\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}tdt=[-\frac{1}{2}e^{-t^{2}}]_{t=0}^{t\rightarrow +\infty }=\frac{1}{2}$.
    Pour être complet, il faut préciser que les hypothèses du théorème de Fubini sont satisfaites, et le prouver.
    La méthode que j'ai suggérée est plus élémentaire. En particulier, on peut la poser de nos jours en Math Spé alors que Fubini a disparu du programme, avec bien d'autres choses.
    Notons aussi que le recours à Fubini ne permet pas de calculer $\int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} \frac {\sin t }t dt)dx (=1)$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
    10/05/2022
  • @Chaurien : Tu utilises en fait Tonelli pour les fonctions mesurables positives donc il n'y a pas grand chose à préciser.
    Et tu as oublié un $t$ dans ton calcul ;)
  • À propos des analogies séries/intégrales, Lebesgue met tout dans le même sac. 
    Ce ne sont pour lui que les mesures qui changent. 
  • @Chaurien sisi  on peut calculer ton nouvelle integrale par Fubini. Pour avoir quelques choses de convergent on colle l expo de -at a ton sin t /t . Puis on remplace apres calcul le a par 0 et on trouve bien 1
    Qui a compris le Fou gebrane ?
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    Citation en cours
  • Modifié (10 May)
    JLapin a dit :
    La méthode systématique, c'est de faire preuve de bon sens :
    Voilà c'est que je craignais ! :)
  • Modifié (10 May)
    Désolé :smile: 
    Une méthode plus explicite t'a été proposée sinon :smile:
  • gebrane a dit :
    Puis on remplace apres calcul le a par 0 et on trouve bien 1
    Il y a une continuité à justifier tout de même, ce n'est pas aussi évident que dans le cas positif je trouve.
  • Modifié (11 May)
    Marrant ces intégrales d'intégrales (ça se dit ça ? ).  La méthode avec l'indicatrice est hyper efficace !  Est-ce qu'elle marche avec le sinus cardinal ? Pour la continuité en $0$ on peut poser $sinc(0)= 1$ ?  
  • @JLapin mon probleme n'est pas dans la justification, mais pour l'écrire 
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    Citation en cours
  • Cela dit l'IPP est plus compliquée avec le sinus cardinal  aussi à cause de la semi-convergence...
  • Oui ! Il faut faire quelques ipp supplémentaires pour augmenter le degré du dénominateur...

  • Il y a aussi la nature de $\int_x^{\infty} e-(1+\frac{1}{t} )^t dt $ mais je crois qu'elle n'est pas intégrable...
  • Modifié (14 May)
    Faut-il comprendre :  $\int_x^{+\infty} (e-(1+\frac{1}{t} )^t )dt$,  $x>0$ ?
  • Modifié (14 May)
    Un développement très limité de $(1+\frac{1}{t} )^t $ quand $ t \rightarrow + \infty$, à la précision $o(\frac 1t)$, te permettra de répondre toi-même.
  • Modifié (15 May)
    Oui c'était facile.
    J'ai réussi à montrer que :
    $\displaystyle\int_0^{+\infty}\Big(\int_x^{+\infty} \sin(t^2) dt\Big)dx =1/2$ Vous confirmez ? 
    Je pense que l'on trouve la même chose en remplaçant $\sin$ par $\cos$.
  • Modifié (16 May)
    Aucun retour pour l'intégrale des restes de Fresnel ??
  • Modifié (16 May)
    On te fait confiance. Question Peut-on appliquer Fubini dans  ce cas ?
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  • Sans doute, mais  comme pour sinus cardinal, je ne sais pas faire dans ce cas précis...
  • Sans doute! Applique le formellement sans justifications,  ca donne quoi?
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    Citation en cours
  • Modifié (16 May)
    Cela donne qu'on n'a pas le droit de faire ça !
    En plus la limite de $\sin(t^2)$ en $+\infty$ n'existe pas...
  • Modifié (16 May)
    Soit $F(x)=\int_{x}^{+\infty }\sin (t^{2})dt$. On cherche $I=\int_{0}^{+\infty }F(x)dx$ (existence et calcul).
    Soit $I(y)=\int_{0}^{y}F(x)dx$. Par IPP et CDV :
    $I(y) =yF(y)-\frac{1}{2}\cos (y^{2})+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y\int_{y^{2}}^{+\infty }\frac{\sin u}{\sqrt{u}}du-\frac{1}{2}\cos (y^{2})+\frac{1}{2}$, d'où :
    $I(y)=\frac{1}{2}G(y^{2})+\frac{1}{2}$, avec :  $G(x)=\sqrt{x}\int_{x}^{+\infty }\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt-\cos x$.
    Encore une IPP : $G(x)=-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{+\infty }\frac{\cos t}{t^{\frac{3}{2}}}dt$, mais ça ne suffit pas, et on en fait encore une, qui permet de conclure : $\lim_{x\rightarrow +\infty }G(x)=0$. D'où $\lim_{y\rightarrow +\infty }I(y)= \frac 12$, CQFD. Ciao Fubini !
  • Modifié (16 May)
    @Chaurien : personnellement j'ai fait la  même méthode mais je n'ai pas eu besoin de faire un changement de variables. On trouve le même résultat en remplaçant $\sin$ par $\cos$ non ? 
  • Modifié (17 May)
    @totem, on peut traiter en même temps $\cos$ et $\sin$ en calculant $\int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} e^{it^2}dt)dx$, exactement avec la méthode que j'ai proposée. Ce n'est pas plus compliqué (les complexes c'est souvent plus simple ;) ). J'aurais dû y penser plus tôt.
    Je trouve $\frac12 i$. Si je ne me suis pas trompé, on a donc : $\int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} \cos (t^2)dt)dx=0$, $\int_0^{+\infty}(\int_x^{+\infty} \sin (t^2)dt)dx=\frac 12$.
    Mais il faut vérifier, je suis sujet aux fautes de calcul.
    Bonne journée ensoleillée.
    Fr. Ch.
  • Modifié (17 May)
    Ah tiens non quand je calcule  j'obtiens : $$ \displaystyle\int_0^{+\infty}\Big(\int_x^{+\infty} \cos(t^2) dt\Big)dx =0$$
    Ce résultat me laisse perplexe...qu'en pensez-vous ? 

  • Modifié (17 May)
    @totem Pour deux dollars de plus, tu nous dis : $\displaystyle\int_0^{+\infty}\Big(\int_x^{+\infty} \cos(t^2) dt\Big)dx =0$.
    C'est bien ce que je dis aussi, non ?
    Alors nous sommes d'accord : les grands esprits se rencontrent ;).
  •  Et pour quelques dollars de plus (RIP Sergio)  , on peut calculer  $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{it^2} dt$ sans passer par l'analyse complexe je pense ! 
  • Le calcul des intégrales de Fresnel, c'est un classique. Pendant longtemps, on les calculait par intégration d'une forme différentielle sur un contour, sans entrer vraiment dans l'analyse complexe puisque la fonction qu'on intégrait n'avait pas de pôle. Cette question est sortie, avec bien d'autres, des programmes des CPGE. Alors, on peut penser à autre chose. Il y a quelques années, Robert Ferréol avait fait une liste des procédés de calcul de ces intégrales : intégrales à paramètre, intégrales doubles, séries de Fourier, etc.
     On en a parlé sur ce forum. Un exemple, mais il y en a d'autres :
    Bisam avait envoyé une feuille d'exercices extrêmement riche, où il y avait un calcul des intégrales de Fresnel, et d'autres aussi. N'en retrouvant pas la référence, je me permets de la renvoyer.
  • Modifié (17 May)
    Ah oui effectivement l'exercice $28$ en parle...

    Comment montre-t-on qu'elles sont positives au fait (question $6$)??

    Et sinon l'exercice $19$ m'intrigue  pas mal aussi...j'ai essayé des IPP, des changements de variable, en vain ! 
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