Somme de mesures

Barjovrille

Bonjour

Soient $\mu_1$, $\mu_2$ deux mesures à valeurs dans $\mathbb{R}^+$, soit $f \in L^1(\mu) \cap L^1(\nu)$, soit $\lambda \in \mathbb{R}$  alors  $\lambda \mu_1 + \mu_2$ est une mesure.

Est-ce qu'on a $\int f  d(\lambda\mu_1+ \mu_2) =\lambda \int f d\mu_1 + \int f d\mu_2$ ?

Je me pose la question car je voudrais avoir une formule du type

si $(\mathbb{P}_i)$ une famille finie de mesures de proba et $(\alpha_i)$ tel que $ \sum \alpha_i = 1$ et $\alpha_i \geq 0$,

alors $\mathbb{E}^{\sum \alpha_i \mathbb{P}_i}[X]= \sum \alpha_i \mathbb{E}^{{P}_i}[X]$.

Merci.

Calli

Bonjour,
Oui, c'est exact. Supposons $\lambda \geqslant 0$ (qui est le cas qui t'intéresse). Ton égalité d'intégrales est d'abord vraie quand $f$ est une indicatrice par définition d'une combinaison linéaire de mesures. Puis elle est vraie pour toute fonction étagée par combinaison linéaire. Puis elle est vraie pour toute fonction positive par convergence monotone. Puis elle est vraie pour tout fonction $f$ intégrable par rapport à $\mu$ et $\nu$, car elle est vraie pour $\max(0,f)$ et $\min(0,f)$.

Si $\lambda<0$, alors $\mu:=\lambda\mu_1+\mu_2$ est une mesure signée, mais $\mu_1$ et $\mu_2$ ne doivent pas être n'importe comment pour que $\mu$ soit bien définie (s'il existe $A$ tel que $\mu_1(A)=\mu_2(A)=+\infty$, ça va poser problème). Mais si les choses sont correctement définies, ton égalité d'intégrales reste vraie.

gerard0

Bonjour.

Il me semble que la principale difficulté (pas insurmontable) est de montrer que $f$ est $\lambda \mu_1+\mu_2$-mesurable. Ce qui ramène à la définition de $\lambda \mu_1+\mu_2$.

Cordialement.

[Calli l'a fait pendant que je rédigeais ce message, un peu différemment, avec l'explicitation du message suivant]

Calli

J'ai implicitement supposé que $\mu_1$ et $\mu_2$ étaient définies sur le même espace, muni de la même tribu, et que $f$ est mesurable pour cette tribu. Sinon, tout est mal défini a priori. Mais cette hypothèse est vérifiée dans l'application en probas que veut faire Barjovrille.

Barjovrille

Merci pour vos réponses ! Oui effectivement je n'ai pas précisé mais les deux mesures sont définies sur le même espace.