Projecteur, déterminant et diagonalisation — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Projecteur, déterminant et diagonalisation

Modifié (8 May) dans Algèbre
Bonsoir
Un oral de CCINP 2021.
Je bloque à la première question.

«1

Réponses

  • Bonjour,

    Comme d'habitude, tu attends la becquée avec la flemme de réfléchir.
    Qu'est ce qu'un projecteur ?

    Cordialement,
    Rescassol
  • Effectivement, c'est trop difficile pour toi.
    1) Dans une bonne base, $id_E+\lambda p$ a pour matrice $I_n+\lambda J_r$ donc $\det (id_E+\lambda p)=(1+\lambda)^r$.
  • Modifié (8 May)
    Ah merci je n'avais pas pensé à utiliser la matrice d'un projecteur dans la base adaptée...
    Dans une base adaptée $B=(e_1, \cdots, e_r ,e_{r+1}, \cdots, e_n)$ où $e_1, \cdots, e_r$ sont des éléments de $Im p$ et $e_{r+1}, \cdots, e_n$ est éléments de $\ker p$ on a $Mat_B( p)= \begin{pmatrix}
    I_r & O \\
    O &  O_{n-r}
    \end{pmatrix}$
    Donc $I_n+ \lambda Mat_B( p) = \begin{pmatrix}
    (1+  \lambda) I_r & O \\
    O &  I_{n-r}
    \end{pmatrix}$
    Donc $\det (I_n+ \lambda Mat_B( p) )= \det((1+  \lambda) I_r ) \times \det (  I_{n-r} )=\boxed{ (1+\lambda)^r}$
  • Pour la question $2$, j'ai calculé le produit mais je ne vois pas comment trouver le rang.

  • C'est encore très difficile pour ton niveau.
    2) Toutes les colonnes sont proportionnelles à V donc le rang est inférieur ou égal à $1$.
    Si $V=0$, le rang est nul.
    Si $V$ est non nul, la matrice $B$ est non nulle donc de rang $1$.
  • Je trouve $\ker B=V^{\perp}$ si quelqu'un veut aussi une b.o.n. de vecteurs propres.
  • Ah je suis bête je n'avais pas vu que les colonnes étaient proportionnelles à $V$  :'(

    3) Si $V=O$ alors $B$ est la matrice nulle elle est donc diagonalisable.

    Si $V$ n'est pas le vecteur nul, alors $rg(B)=1$. Il me semble difficile voir impossible de calculer le polynôme caractéristique de $B$...
  • Tu n’as pas mille et une fois étudié les endomorphismes de rang 1?
  • Modifié (8 May)
    On se place dans le cas où $B$ n'est pas la matrice nulle. 
    Si ça me revient, comme $B$ n'est pas inversible, $0$ est valeur propre et $\dim \ker(B)=n-1$.
    Donc $\boxed{\chi_B(X)=X^{n-1} (X- Tr(B))}$ avec $Tr(B)=a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots +a_n ^2 \ne 0$ car $B$ n'est pas nulle.
    Comme $Tr(B) \ne 0$ alors $\dim E_{0}=n-1$ et $\dim E_{Tr(B)}=1$ donc la dimension des sous-espaces propres est égale à la multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique donc $B$ est diagonalisable.
    On a $\boxed{Sp(B)= \{ 0 ,Tr(B) \} }$.
  • Pour la question 1, tu n'as pas pensé à chercher une base adéquate, tu es resté à regarder l'exercice, comme un poisson rouge observe son environnement.
    Comme d'habitude. Et tu t'imagines trouver quelque chose par toi-même pour les questions suivantes ???
  • Modifié (8 May)
    Voici ce que j'ai fait pour la dernière question mais je n'ai pas abouti.
    Il me semble que $M=B+I_n$. Or $\chi_B(X)= \det( X I_n -B)$. 
    Or $\det( I_n -B)= \chi_B(1)=1- \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2$. 
    Je ne vois pas comment en déduire $\det(I_n +B)$.
  • Modifié (8 May)
    QCM
    Quand on a un exercice en dimension n, et qu'on n'a aucune idée, quelles sont les méthodes pour trouver des idées ?
    A- Demander aux autres.
    B- Attendre la nouvelle lune.
    C- Regarder en dimension 2, en dimension 3 et essayer de voir si on trouve une idée.
  • Bon, $\det M=1+\lVert V\rVert^2$.
    Une réciproque : Soit $B$ une matrice symétrique réelle de rang $1$ et de trace positive.
    Montrer qu'il existe un vecteur $V$ tel que $B=V\;^tV$.
  • Modifié (9 May)
    On a $\det M$ est le produit des valeurs propres de $M$.
    Or $Sp(B)=\{ 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2 \} $donc $sp(M)=\{ 1, 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2 \}$
    Ainsi $\det(M)= 1^{n-1} \times ( 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2)$ finalement $\boxed{\det(M)= 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2}$
    Je réfléchirai à ton exercice demain @gai requin
  • Modifié (9 May)
    @gai requin
    J'ai avancé un peu dans ton exercice mais je ne parviens pas à utiliser l'hypothèse de matrice symétrique.
    Soit $B$ une matrice de $M_n(K)$ de rang $1$. Notons $B=(C_1, \cdots, C_n)$.
    $\dim Vect(C_1, \cdots, C_n)=1$ donc il existe un élément non nul $C=(c_1, \cdots, c_n)^T \in M_{n,1} (K)$ tel que $ Vect(C_1, \cdots, C_n)=Vect (C)$.
    Donc $\forall j \in [|1,n|] ,\ \exists \ell_j \in K \ C_j = \ell_j C$.
    Posons $L=(\ell_1, \cdots, \ell_n) \in M_{1n} (K)$ avec $L$ non nul car au moins une colonne de $B$ est non nulle.
    Alors $\boxed{B= CL}$ avec $C$ matrice colonne et $L$ matrice ligne.
    On a $B^T= B$ donc $CL =L^T C^T$ et $Tr(B)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \ell_k c_k \geq 0$.
    Je bloque ici pour montrer que $L=C^T$...
  • Si tu vois les mots "matrice symétrique réelle", tu dois avoir une bannière clignotante dans ta tête qui répond "théorème spectral".
    Si ce n'est pas le cas :
    1) n'essaie pas de faire l'exercice de @gairequin
    2) apprends ce fichu théorème !
  • Et un peu de produit scalaire ne peut pas faire de mal non plus !
  • Modifié (9 May)
    @gai requin  ton exercice est à  la portée  de Os. Ta matrice étant de rang 1, elle n'admet qu'une seule valeur propre non nulle. Le vecteur propre associé  fait l'affaire
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • @gebrane : Le vecteur propre ?
    Du reste, il y a un peu de travail pour montrer que les deux matrices sont égales...
  • @bisam je n'ai pas encore étudié le chapitre sur la réduction des matrices symétriques mais je connais le théorème car je l'ai étudié en prépa, et il est très souvent utilisé dans les sujets de concours.

    $B$ est symétrique réelle donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres. Il existe une matrice orthogonale $O$ dont les colonnes sont les vecteurs propres de $B$ et une matrice diagonale $D=diag(0, \cdots, 0, Tr(B))$ telle que $B=O D O^T$ avec $Tr(B) \geq 0$.

    Mais je ne vois pas comment continuer.
  • Modifié (9 May)
    @gai requin  Le signifie un bien choisi  (la norme de v doit être égale à la racine carré de la valeur propre). Pour la vérification, que celui qui doute  ( je vise Os) fasse ces calculs ! 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • Modifié (9 May)
    Bonjour OS,
    Il me semble que tu as déjà étudié les matrices de rang 1 : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329011/diagonalisation
    Cordialement,
    Jean-éric
  • @jean-éric oui mais l'exercice de @gai requin ajoute des hypothèses supplémentaires : matrice symétrique, trace positive...
  • @gebrane je ne comprends pas ton indication, on m'a dit d'utiliser le théorème spectral.
  • Modifié (10 May)
    T'as raison, c'est très compliqué. Voici une solution et va prendre l'air : il fait beau en ce moment.
    On note $\lambda>0$ l'unique valeur propre non nulle de $B$ et $W$ un vecteur propre de $B$ unitaire associé à $\lambda$.
    On pose $V=\sqrt{\lambda} W$ et on va vérifier que $B=VV^T$.
    Le noyau de $B$ est exactement l'orthogonal de $\{V\}$ et donc pour tout $x\in \ker B$, $V^T x=(V|x)=0$ donc $VV^T x=0=Bx$.
    Par ailleurs, si $x\in \ker(B-\lambda I_n)$, il existe $\mu\in \R$ tel que $x=\mu V$.
    Aussi, $VV^T x = \mu VV^T V = \mu \|V\|^2 V = \mu \lambda V=\lambda x = Bx$.
    Comme $\ker B$ et $\ker(B-\lambda I_n)$ sont supplémentaires, on peut conclure : $VV^T=B$.
  • Modifié (10 May)
    Je ne comprends rien à partir de la ligne 3 : "Le noyau de $B$ ..."
  • C’est parce que c’est trop difficile. 
  • Modifié (9 May)
    Pourquoi @gai requin me donne des exercices infaisables alors que j'ai pris la résolution de faire des exercices de CCINP à mon niveau et qu'on m'a conseillé de faire des exercices de base ? 

    Oui moi je traduis $BW= \lambda W$ c'est tout. Le reste est beaucoup trop rapide pour moi. 

    A ma décharge je n'ai pas encore étudié le cours de MP sur la réduction des endomorphismes symétriques (il est à la fin du livre). Peut être que quand je l'aurais étudié, ça me paraitra plus simple.

    Je laisse tomber et je vais continuer à faire des exercices d'oral de CCP.
  • Si tu te lançais dans des exercices de niveau lycée, comme tout le monde te le dit, tu n'aurais pas ce problème là.
  • Bonjour
    La notion nécessaire pour faire l'exercice est à la fin du livre.  Je ne sais pas pourquoi mais ça me fait rire.
  • Modifié (10 May)
    Ce n'est pas en faisant des exercices niveau lycée que je saurai faire l'exercice de gai requin ou comprendre la correction de Jlapin.
    Plutôt en faisant beaucoup d'exercices de L1 - L2 proches du cours et de niveau facile - moyen comme les exercices de CCP.
  • Ce n'est pas non plus en recopiant des trucs auxquels tu ne comprends rien que tu progresseras.

    Moi, je n'ai pas pour ambition de peindre comme Manet ou Van-Gogh. J'aimerais déjà savoir peindre comme un peintre en bâtiment, et j'ai déjà beaucoup de mal.  
    Toi, tu crois que ton potentiel est illimité. Tu crois que les exercices de GaiRequin, tu sauras les faire un jour. Tu crois que tu vas devenir Van-Gogh, mais c'est dans tes rêves !

    Tu peux travailler 20 heures par jour toute ta vie, tu ne deviendras pas Van-Gogh, ni Bisam ni Gai-Requin !

    Prouve-nous que tu es totalement à l'aise sur des exercices de lycée.
    Pour l'instant, on voit un type qui est en galère dès qu'il faut avoir une idée.  Une machine qui connaît les théorèmes, mais qui n'a aucune inspiration pour savoir quel théorème il faut dégainer.
  • Modifié (10 May)
    Je ne recopie rien je fais des exos d'oraux qui ne sont pas corrigés.
    Je n'ai jamais dit que je serai très fort, j'ai dit que je maitriserai les bases ce qui me suffit. 
    L'exercice de gain requin serait donné dans un sujet de concours avec 3-4 questions intermédiaires. (sauf pour ENS)
  • Tu copies les énoncés d'exos d'oraux, puis tu recopies les réponses proposées par les uns ou les autres.
    Si tu veux maitriser les bases, travaille les bases. Pas les trucs qui te dépassent totalement.
  • Ces exercices d'oraux sont des exercices de base proches du cours, c'est le concours de plus faible niveau. 
  • Et tu imagines que tu as le niveau pour ce concours ???  Tu imagines que ce concours est d'un niveau si faible que n'importe qui pris au hasard dans la rue peut le réussir ?
  • OS : Ce n'est pas en faisant des exercices niveau lycée que je saurai faire l'exercice de gai requin

    Un exemple : 

    OShine a dit :
    Voici ce que j'ai fait pour la dernière question mais je n'ai pas abouti.
    Il me semble que $M=B+I_n$. Or $\chi_B(X)= \det( X I_n -B)$. 
    Or $\det( I_n -B)= \chi_B(1)=1- \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ^2$. 
    Je ne vois pas comment en déduire $\det(I_n +B)$.

    Donc on cherche à évaluer le polynôme $XI-B$ en une valeur telle qu'on soit pas trop loin de $I+B$. Tu essayes avec $X=1$, ça ne marche pas et tu abandonnes cette piste. Bien sûr, si on fait un tout petit effort, $\chi_B(-1)=(-1)^{n-1}(-1-tr(B))=\det(-I-B)=\det(-1\times(I+B))=(-1)^n\det(I+B)$ d'où $\det(I+B)=(-1)^{2n-1}(-1-tr(B))=1+tr(B)$...

    En gros, si on enlève les notions "matrices", "polynôme caractéristique", "déterminant", évidemment hors de portée d'un lycéen normal (quoique matrice) et que je reformule le problème, il s'agissait de trouver deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda x - b = \mu(x+b)$. Allez j'enlève les quantificateurs, donc je dis "trouver $\lambda, \mu$ tels que..." et même je remplace les lettres grecques par des latines : "Trouver deux réels $u$ et $v$"... Eventuellement, je remplace "réels"par "entiers" : "Trouver 2 entiers $u$ et $v$ tels que $ux-b=v(x+b)$. Tu vas me dire que c'est quelle niveau ça comme question ? Parce que je pense que tout une classe de TS peut trouver et qu'une bonne moitié de classe de 2nd aussi. Alors certes, j'ai simplifié. N'empêche que quand on gratte la difficulté de la question, tu es infoutu de faire un raisonnement de cet ordre là.

    Par ailleurs, tu as fait au plus simple : quand on évalue un polynôme, c'est souvent en $0$ ou en $1$. Du coup, jamais il ne te serait venu à l'idée de l'évaluer en $-1$, quelle bizzarerie !

    Et de manière générale, tu bloques parce que tu es infoutu de mener des RAISONNEMENTS de difficulté LYCEE sur des NOTIONS de PROGRAMME de PREPA/SUP. Ce sont 2 choses distinctes. Ce serait pas difficile pour moi de te mettre en difficulté sur des exos de lycée (bien choisis quand même) quand je vois les bêtises que tu racontes, sans même aller te demander des démos de cours que tu ne saurais pas faire. 

    Bref, continue de croire que le lycée, c'est pour les "nuls" et que toi, tu voles au-dessus en savant incontesté. Ne serait-ce que les petits exos défis de fin de chapitre des manuels de la collection "hyperbole" sont trop durs pour toi déjà. Le concours kangourou, je te l'ai proposé mais maintenant que les solutions sont sorties, laisse tomber. Tu as fait pareil pour le concours général, tu as sagement attendu la sortie d'un corrigé avant de poster à ce sujet mais avant, rien du tout. 

    Là, je suppose que tu vas attendre sagement les corrigés des X-ENS 2022 avant de nous poster les 3 premières questions en disant "j'ai réussi 1) et 2) et je bloque à la question 3)" avec une rédaction identique pour 1) et 2) identique au corrigé.

    Point positif : je t'encourage à bosser CCP même si de toute évidence, faire ces exos sans avoir vu à fond le cours, ça n'a juste pas d'intérêt. Pourquoi faire des exos sans connaitre le cours à part nous faire perdre notre temps à te rappeler le cours ? Et sinon, c'est encore trop dur pour toi, pour les raisons que j'ai évoquées ci-dessus. Tu devrais faire des exos de TD dont tu as vu le cours, pas des sujets de concours. A la limite des sujets de DM/DS de sup et encore... 

  • Modifié (10 May)
    Surtout cet étalon complétement bizarre de vouloir avoir le niveau de tel ou tel concours (CCP, Centrale, etc), en refusant d'écouter les conseils, et en oubliant totalement qu'en plus des maths, les candidats de ces concours doivent également se fader des épreuves de physique, français, anglais, SI, etc.
  • @gai requin peux-tu dévoiler ta preuve de ton exercice si elle est différente. Aussi la preuve de @bisam
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • Il y a peut être des preuves plus simples, la preuve de @JLapin est trop technique pour moi.

    @Alexique je connais le cours sur la réduction des endomorphismes donc le cours qui permet de résoudre cet exercice.
    Je choisis des exercices qui utilisent les chapitres que j'ai déjà étudiés.
    Oui sinon j'aurais du penser à calculer $\chi (-1)$ c'est vrai.

    Le sujet de Centrale maths 1 a l'air joli sur les formes symplectiques.
  • Tu ne comprends pas la différence entre connaître le cours et faire des maths.

    J'ai souvenir d'un champion du monde de Scrabble Francophone. Le type ne parlait pas français. Après avoir brillé aux championnats anglophones, il a décidé d'apprendre par coeur le dictionnaire français (la liste des mots, pas leurs définitions), et il est devenu champion du monde de scrabble francophone, sans parler le français.

    Il connaît tous les mots, mieux que quiconque, il sait quels mots sont présents dans le dico du scrabble, mais absent du Larousse, il sait ce qui est au programme et ce qui n'est pas au programme, et pourtant, il est incapable de faire une phrase en français.
    Toi tu es pareil, ou tu veux faire pareil. Tu apprends le cours, tu connais le cours (selon tes critères), tu connais chacun des théorèmes, chacune des définitions, tu peux lister tous les théorèmes et toutes les définitions qui sont au programme, mais tu ne sais pas faire un seul exercice.
  • Modifié (10 May)
    @lourrran ça dépend à quel niveau on se place. Sur les exercices de CCP j'arrive à faire la moitié des questions environ.
    90% des étudiants ne savent pas faire un exercice de XENS. Pour autant doivent-ils arrêter les maths ?
  • Personne ne te suggère d'arrêter les maths ! Les intervenants te suggèrent juste des manières plus efficaces de procéder...
  • D'ailleurs, tu suis 'un petit peu ce conseil'. Pendant des années, tu as demandé de l'aide sur des exercices X ENS, et tu n'as jamais rien compris, maintenant tu demandes de l'aide sur des exercices CCP et tu n'y comprends rien, et dans 5 ans, tu demanderas de l'aide sur des exercices de lycée et tu y comprendras quelque chose. Tu auras juste perdu 10 ans dans ta progression.
  • Modifié (10 May)
    Voici ma solution à l'exercice de @gai requin.

    1) Puisque $B$ est symétrique réelle, son polynôme caractéristique est scindé sur $\R$.
    2) Puisqu'elle est de rang 1, son noyau est de dimension n-1, donc 0 est une valeur propre de multiplicité au moins égale à $n-1$.
    3) Par conséquent, avec ces deux affirmations, la somme de toutes les valeurs propres comptées avec multiplicité est égale à la trace de $B$ et est aussi égale à la dernière valeur propre, notée $\lambda$, et par hypothèse faite sur la trace, celle-ci est donc positive, et non nulle sinon $B$ serait nulle et donc pas de rang $1$.
    4) Il n'y a pas de  4). Si $\lambda=0$, alors $B$ est semblable à la matrice nulle donc nulle donc $V=0$ vérifie bien $B=VV^T$.
    5) Si $\lambda\neq 0$, on note $U$ un vecteur propre unitaire de $B$ associé à la valeur propre $\lambda$.
    5.a) On constate que $\frac{1}{\lambda}B$ est la matrice de la projection orthogonale sur la droite portée par $U$. Par conséquent, pour tout vecteur colonne $X$, $\frac{1}{\lambda}BX=(U^TX)U=UU^TX$.
    5.b) On en déduit que $\frac{1}{\lambda}B=UU^T$ (par exemple en considérant un par un les vecteurs de la base canonique) et si on pose $V=\sqrt{\lambda}U$ on conclut que $B=VV^T$.


    [Edit] Corrigé suite à la remarque de @gai requin ci-dessous.
  • @bisam : Tu ne peux pas avoir 4) parce que $B$ est de rang $1$.
  • Modifié (10 May)
    Merci @bisam

    Je crois qu'on peut procéder comme suit ?
    Une matrice de rang 1, peut s'écrire  c.u.v^T. Avec c une constante et u, v deux vecteurs colonnes. Si on ajoute la symétrie,  on aura u= +-v. Si on ajoute la positivité  de la trace, on conclut l'exercice. (Je n'ai pas trop réfléchi).
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • Ah oui, bonne remarque, @gai requin . Je vais rayer cela.
  • Modifié (10 May)
    @lourrran je comprends très bien les exercices de CCP même si je n'arrive pas à tout résoudre. 
    Je comprends l'énoncé.
    À partir de 5.a je ne comprends rien, je n'ai jamais vu ces histoires de matrice de la projection orthogonale sur la droite portée par $U$... 
    Je ne comprends pas non plus qui est $X$ ni le calcul avec $\dfrac{1}{\lambda} BX$...
    5.b) Je n'ai rien compris.
    C'est normal que je ne comprenne rien si je n'ai pas encore étudié la réduction des matrices symétriques ? 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!