Petit problème d'algèbre linéaire

najibifarid

Bonjour
Je fais appel à votre générosité car je suis bloqué sur ce problème.
les calculs sont simples. 
donc j'ai trouvé 

Après pour la deuxième question c'est simple .
pour la troisième j'ai fait u(x)=0 j'ai trouvé 3 équations 
|8x+2y-2z=0(a)
|2x+5y+4z=0(b)
|-2x+4y+5z=0(c)
b+c me donne y+z=0
et 2a+b me donne 9x+y=0

Je ne sais plus laquelle des deux prendre pour trouver e1, u=(0,1,1) ou u =(9,0,0).

Après pour la question d'après bah ils demandent une équation cartésienne après faut montrer que Im(u) est orthogonale à ker (u) donc on fait le produit scalaire mais du coup faut trouver une base orthonormé de im(u) ? 

Aidez-moi s'il vous plaît.

najibifarid

aidez moi s'il vous plait !!

Blueberry

Bonjour,

$2a+b$ donne $2x+y=0$ il me semble.

Donc tu obtiens le système équivalent $\begin{cases} 8x+2y-2z=0\\2x+y=0\\y+z=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=-2x\\z=2x \end{cases}$

D'où un générateur de ton noyau de dimension 1:$\begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}$

najibifarid

Blueberry

merci beaucoup pour votre aide j'ai refait les calculs et j'ai trouvé pareil, mais ce qui m'a surpris c'est que on me demande de montrer que c'est un groupe alors que U n'est pas inversible ???

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Blueberry

Alors là je ne vais pas trop m'avancer mais comme il n'est pas dit sous-groupe, {$A, B, C$ et $U$} muni du produit matriciel peut-être un groupe si

$UA=AU=A$,    $UB=BU=B$    et     $CU=UC=C$ donc avec $U$ comme élément unité,

à condition que chaque matrice ait son inverse (au sens où $\forall X \in \{A, B, C, U \}$ il existe $Y \in \{A, B, C, U \}$ tel que $XY=U$.)

GaBuZoMeu

Bonjour

La matrice antisymétrique $A$ est la matrice du produit vectoriel par le vecteur $\vec v = \begin{pmatrix}1/3\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}$ qui est un vecteur unitaire. Autrement dit, son noyau est la droite vectorielle $\mathrm{Vec}(\vec v)$ et sa restriction à $\mathrm{Vec}(\vec v)^\perp$ coorienté par $\vec v$ est la rotation d'un quart de tour dans le sens direct.

najibifarid

Merci pour vos réponses. 

Je suis toujours bloqué sur la question 3)b je dais que les deux colonnes de ma matrice sont une base mais du coup comment trouver une équation cartésienne ?
Et pour la 3)c faut trouver la nature de la matrice U ou de l’application ? Je ne comprends pas.
Merci de me donner un coup de main s’il vous plaît 🙏🏻 

usine

A,B,C,U avec le produit matriciel forme bien un groupe (abélien)
C'est un groupe cyclique 
U l'élément neutre
Il ne faut pas se demander si une des matrices est inversible ou pas :
On s'en fiche complètement mais bien vérifier ce qui est précédemment écrit.

najibifarid

Aah ok je n’avais pas capté, merci pour votre aide. 

Mais du coup je suis toujours à la question 3)b je n’arrive pas à trouver l’équation cartésienne demandée.

gebrane

Ton équation cartésienne est :  x,y et z sont dans l'image ssi x-2y+2z=0

najibifarid

merci pour votre réponse @gebrane .
mais pouvez expliquer comment vous avez fait ?  

JLapin

Tu peux résoudre le système $UX=Y$ et chercher l'équation de compatibilité.

najibifarid

@JLapin Est-ce que on peut dire que u (1,-2,2) est normale à im(u) donc l’équation cartésienne égale à x-2y+2z=0 ??

JLapin

Oui, si tu sais que $Im u$ est un plan.

najibifarid

On peut pas utiliser le théorème de rang ? 

najibifarid

s'il vous plait pour la nature de U , on U^2=U=Id puisque U est l'élément neutre de groupe mais du coup c'est une symétrie ou une projection ? 

JLapin

Si