Exercice équation différentielle de Cauchy

tgbne

Bonjour, je bloque sur cet exercice.

1) La fonction $u\mapsto u(1-u)$ est continue et localement lipschitzienne. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, on en déduit l'unique solution maximale.

2) Étudier les racines de $u\mapsto u(1-u)$, est-ce une solution ? Je ne sais pas comment déterminer les solutions.

3) et 4) Je ne vois pas.

Si quelqu'un peut m'aider ? Merci.

JLapin

2) Tu cherches les fonctions constantes solutions du problème...

3) et début du 4) Utilise le théorème de Cauchy - Lipschitz et la réponse à la question 2) (et le TVI).

Pour finir 4), étudie la monotonie de ta solution et fais quelques dessins.

Poirot

Les solutions stationnaires vérifient $u'(t)=0$, ça ne laisse pas beaucoup de possibilités.

Pour 3 et 4 on peut penser à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, et se rappeler de l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz.

JLapin

Bon, on est à peu près raccord sur les indications

math2

D'accord avec les indications qui te sont fournies. 

Sinon dans 1 tu énonces que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites, mais sans les justifier. Pourquoi par exemple la fonction est--elle LL ?

etanche

En cherchant $ a,b $ réels tels que $\frac{1}{z(1-z)} = \frac{a}{z} +\frac{b}{1-z}$ 
pour tout $z$ réel, permet résoudre cette équation différentielle. 

C’est une équation différentielle du type Bernoulli 

https://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch09/co/apprendre_ch09_05.html