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Exercice équation différentielle de Cauchy

Modifié (7 May) dans Analyse
Bonjour, je bloque sur cet exercice.


1) La fonction $u\mapsto u(1-u)$ est continue et localement lipschitzienne. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, on en déduit l'unique solution maximale.
2) Étudier les racines de $u\mapsto u(1-u)$, est-ce une solution ? Je ne sais pas comment déterminer les solutions.
3) et 4) Je ne vois pas.
Si quelqu'un peut m'aider ? Merci.

Réponses

  • 2) Tu cherches les fonctions constantes solutions du problème...
    3) et début du 4) Utilise le théorème de Cauchy - Lipschitz et la réponse à la question 2) (et le TVI).
    Pour finir 4), étudie la monotonie de ta solution et fais quelques dessins.

  • Les solutions stationnaires vérifient $u'(t)=0$, ça ne laisse pas beaucoup de possibilités.

    Pour 3 et 4 on peut penser à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, et se rappeler de l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz.
  • Bon, on est à peu près raccord sur les indications :)
  • D'accord avec les indications qui te sont fournies. 

    Sinon dans 1 tu énonces que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites, mais sans les justifier. Pourquoi par exemple la fonction est--elle LL ?
  • Modifié (8 May)
    En cherchant $ a,b $ réels tels que $\frac{1}{z(1-z)} = \frac{a}{z} +\frac{b}{1-z}$ 
    pour tout $z$ réel, permet résoudre cette équation différentielle. 
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