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Fonction complexe

Modifié (7 May) dans Analyse
Bonjour
Je suis sur un exercice où je cherche l'image de $\C$ par la fonction $f(z)=\dfrac1{2(z+|z|)}$.
J'ai $f(\C)$ inclus dans $E = \{x+iy \mid x\geq 0 ,\ y \in\R\}$ de manière évidente.
Dans mon livre il est dit $f(\C)=E$, mais j'ai beau faire je ne trouve pas d'antécédent par $f$ à un imaginaire pur   et je trouve $f(\C)=E\setminus\{ia\mid  a\in\R^*\}$
Quand je résous $f(x+iy)=iy'$   je trouve $x^2+\sqrt{x^2+y^2} = 0$    et $y'=2y$    ce qui me donne $x$ négatif et $y=0$ (donc nécessairement $y'=0$)
Quelqu'un pourrait-il infirmer ou confirmer.
Merci d'avance.
[Avec $\LaTeX$ c'est plus attirant. :) AD]

Réponses

  • Il y a une coquille dans le livre, c'est $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}$.

    Une façon rapide de le démontrer :
    poser $z=r e^{i t}$ avec $r>0$ et $-\pi<t<\pi$ puis mettre sous forme algébrique en écrivant $1+e^{it}=2e^{it/2}\cos(t/2)$.
  • Modifié (7 May)
     $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}\cup \{0\}$   plutôt je pense.
  • Comment obtiens-tu la valeur $0$ ?
  • Je ne vois pas comment $0$ pourrait s'écrire $f(z)$.
  • Modifié (7 May)
    Bon ma fonction a été modifiée par quelqu'un (je ne l'avais pas tapé en latex) et du coup ce n'est pas la bonne :  $f(z)=\dfrac1{2}(z+|z|)$.
    [Mille excuses, d'où l'intérêt de l'écrire directement en $\LaTeX$. :) AD]
  • Pour cette fonction $f(\C)$ est bien égal à $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}\cup \{0\}$.
  • Merci beaucoup ....il y a donc bien une coquille dans le livre
  • Bonus. Modifier le f pour avoir le même résultat du livre.
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