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Endomorphisme nilpotent

Modifié (7 May) dans Algèbre
Bonjour
C'est issu d'un oral CCPINP 2021. Je continue dans ce niveau pour consolider mes connaissances.
Je bloque sur la dernière question. 
1) Comme $u$ est nilpotent $\chi_u(X)=X^n$ et d'après Cayley-Hamilton on a $u^n=0$.
2.a) Puisque $u^{n-1}$ est non nul il existe $x \in E$ tel que $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Montrons que la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre.
Soient $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{n-1}) \in K^n$ tel que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$
En appliquant $u^{n-1}$ aux deux membres de l'égalité, on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^{n-1+k} (x)=0$ on en déduit $\lambda_0 u^{n-1} (x)=0$ donc $\lambda_0=0$ car  $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$ et on applique $u^{n-2}$ ce qui permet de montrer que $\lambda_1=0$.
En répétant le raisonnement, on montre que $\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots= \lambda_{n-1}=0$.
C'est une famille à $n$ éléments donc c'est une base de $E$ et il est évident que $Mat_B (u)=A$.

«1

Réponses

  • Modifié (7 May)
    Bonjour
    Si $X^2=A$, quel peut-être le rang de $X$ ?
  • Je crois qu'il est utile de remarquer que X est elle aussi nilpotente, ce qui renvoie à la question 1 ...
  • Par ailleurs, il me semble utile de détailler quelques points dans tes démonstrations précédentes :
    1) Pourquoi peut-on affirmer $\chi_u = X^n$ ?
    2a) Démontrer formellement la partie "En répétant le raisonnement". Tu utilises souvent cette formule mais a parfois du mal à en proposer une démonstration correcte.
  • Modifié (7 May)
    @OShine lorsque tu auras fini voici un petit exo dans l'exo : démontrer la 1) sans le bazooka Cayley-Hamilton :mrgreen:

  • Modifié (7 May)
    désolée faute de frappe je n'arrive pas à supprimer ma "réponse"
  • Modifié (7 May)
    Je ne vois pas comment résoudre $X^2=A$ même avec les indications données.

    @Heuristique c'est dans le cours de MP sur la réduction des endomorphismes. Faut-il redémontrer le cours ? 
    Je n'ai pas l'impression que ça ait une utilité de détailler le "en répétant" la méthode est claire... Pourquoi s'embourber dans une récurrence quand on peut faire simple ? 

    @raoul.S d'accord merci. 

    @GaBuZoMeu je sais que $rg(A)= n$ donc $rg(X^2)=n$ je ne vois pas comment en déduire le rang de $X$.

    @Gache comme $A$ est nilpotente alors $X^2$ mais je ne vois pas quoi faire de cette information. 
  • Hello ! Tu as passé 2 semaines sur le sujet d'externe sur la réduction de Jordan. La question 2b utilise le même genre de raisonnement que ce que tu avais vu...
  • Modifié (7 May)
    C'est trop difficile pour toi et tu continues à écrire bêtise sur bêtise. Voici une solution.
    Soit $X$ une matrice carrée vérifiant $X^2=A$.
    On $rg(X^2)=rg(A)=n-1$.
    Comme $rg (X)\geq rg(X^2)$ puisque $im X^2\subset im X$, on en déduit $rg X=n-1$ ou $rg X=n$.
    Si on avait $rg X=n$, alors $X$, donc $X^2$ donc $A$ serait inversible.
    Donc $rg X=n-1=rg X^2$, puis $im X= im X^2$ (inclusion et égalité des dimensions), puis, pour tout $k\geq 1$, $im X^k=im X$ (récurrence immédiate).
    Or $X$ est nilpotente, donc en prenant $k$ assez grand, on a $im X=\{0\}$ puis $X=0$ puis $A=0$ : absurde.
    Conclusion : il n'y a pas de solution à l'équation.
  • Ne pas oublier tout de même le cas $n=1$, $A=0$ et donc $X=0$ est solution.
  • Modifié (7 May)
    JLapin a dit : C'est trop difficile pour toi...
    Ce n'était pas trop difficile.

    Une solution un poil plus simple à mon avis : $X$ est nilpotente donc $X^n=0$ (en appliquant 1.) Mais dans ce cas si $n$ est pair on aurait $0=X^n=(X^2)^{n/2}=A^{n/2}$ impossible car $A^{n-1}\neq 0$. Si $n$ est impair alors $0=X^{n+1}=(X^2)^{(n+1)/2}=A^{(n+1)/2}$ ce qui implique $(n+1)/2\geq n$ (toujours car $A^{n-1}\neq 0$) et donc $n\leq 1$ et donc $n=1$. Dans ce cas $A=0$ comme indiqué par Blueberry ci-dessus.

    Donc en réfléchissant un peu je pense que OShine aurait pu au moins trouver cette dernière solution...
  • Modifié (7 May)
    Encore plus simple ;)
    $X$ est nilpotente et $A^{n-1}=X^{2n-2}\neq 0$ donc $n\geq 2n-1$ et $n\leq 1$.
    Edit : Et $n=0$, c'est du poulet ?
  • Oui, c'est plus simple :)
    J'avoue que je réagissais surtout à la réponse de Oshine à la question posée par GaBuZoMeu sur le rang de $X$.
  • Modifié (8 May)
    @JLapin oui j'ai été trop vite ! 
    Pour $n=2$ on a $A=\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix}$ donc $rg(A)=1=2-1$.
    @raou@"raoul.S" @gai-@gai requin
    Oui si $n=1$ alors $A=(0)$.
    Si $n=0$ je ne vois pas comment faire, $A$ n'existe pas...
    Comment montrer que $u^n=0$ différemment ? 
  • Modifié (8 May)
    @OShine On peut également dire que l'exercice est dans le cours de spé. On pourrait donc proposer les preuves suivantes :
    1) $u^n = 0$.
    2a) Un tel $x$ existe.
    2b) L'équation n'a pas de solution, sauf si $n=1$.
    Ce qui est alors une rédaction suffisante.
    Cela ne te fera pas de mal de redémontrer des résultats que tu connais déjà (évidemment sans regarder la correction), tu y verras sûrement un moyen de te passer de Cayley-Hamilton : ici, un marteau pour une mouche.
    "Pourquoi s'embourber dans une récurrence quand on peut faire simple ?" Voici 3 raisons (il y en a sûrement plein d'autres).
    a) La récurrence est simple (une preuve par l'absurde est encore plus simple) et prend moins de place que ton raisonnement.
    b) La preuve que tu as écrite ne citait pas le mot "récurrence" qui est ce qu'on attend (ou une preuve par l'absurde) donc le "en répétant le raisonnement" sonne comme une arnaque dans une copie.
    c) Cela ne fait pas de mal d'écrire des preuves formelles et complètes de temps en temps. Quand on sait faire un exercice, on en profite pour bien le rédiger, c'est ainsi que l'on progresse.
  • Modifié (7 May)
    @OShine : Tu peux montrer que $u^n=0$ en t'inspirant de ta solution de la question 2)a).
  • En lisant entre les lignes l'indication de Gabuzomeu, tu ne vois pas qu'il suggère que l'équation $X^2=A$ n'a pas de solution ?

    En plus, il y a une suite dans l'exercice. On ne dit pas : soit $A$ la matrice bla bla bla , résoudre $X^2=A$.
    On t'amène à cette matrice, on sait qu'elle est de rang $n$ ... et toutes les pièces du puzzle servent.
    C'est quand même dommage de recopier des maths 12 heures par jour pendant toutes ces années, et de ne toujours pas avoir les réflexes qu'on attend d'un lycéen.
  • Rang de A=n... On aura tout vu ! 
  • Modifié (8 May)
    Cela date du mois du mars.
    Après avoir traité ce problème,  pourquoi avoir des difficultés ici?

  • Modifié (8 May)
    @bd2017. On est ici dans un cas particulier de cet exo d'agreg qui se traite en une ligne ex nihilo.
    D'ailleurs, on peut faire 2)b) sans utiliser 2)a) (réduite de Jordan sans le dire).
  • Mars, c'était il y a 2 mois. Une éternité. 
    Si demain, OShine voulait refaire un exercice qu'il a fait il y a 2 semaines, il reposerait les mêmes questions, il bloquerait aux mêmes endroits, il redirait 'Je ne comprends pas'.
    Il ne retient strictement rien de ce qui se trame ici.

    Et c'est normal.
    J'ai lu récemment un bouquin 'technique'. J'avais mal évalué le niveau, j'ai lu un bouquin un peu trop compliqué pour moi. Je l'ai lu il y a 2 ou 3 semaines, et je crois que je n'ai à peu près rien retenu. Là je viens de commander un bouquin de niveau plus bas, normalement.  Et je vais le lire. Ensuite, je pourrais relire le 1er bouquin.

    Tant que OShine refusera de bouffer plein d'exercices de lycée, il n'apprendra rien.
  • @Heuristique oui mais la question $2$ n'est pas dans le cours de spé, par contre le fait que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent est $X^n$ est bien dans le cours.
    Généralement les résultats de cours ne sont pas à redémontrer.
    Oui j'aurais pu faire une récurrence ou par l'absurde, je vois l'idée pour le raisonnement par l'absurde je sais faire de tête.

    @lourrran la réduction de Jordan était un niveau trop élevé pour moi, je suis revenu à des exercices de base. 

    Montrons que $u^n=0$. Soit $p$ l'indice de nilpotence de $u$. La famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1}(x))$ est libre contient $p$ éléments. Or le cardinal d'une famille libre est inférieur à la dimension de l'espace $E$ donc $p \leq n$. Comme $u^p=0$ alors $u^n = 0$.

    Pour $n=0$ on fait comment ? 
  • Qu'est-ce que $x$ dans ta preuve ?
  • Modifié (8 May)
    Si $n=0$, que sont $u$ et $u^2$ ?
  • @OShine si n=0, ton ev est l espace nul
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    Citation en cours
  • Au vu de l'énoncé, je ne pense pas que n puisse être nul.
  • Vous parlez à un sourd... 
  • On s'en sors bien.
    par convention:  u^0 = Identité et puisque E est réduit au vecteur nul et identité de (0)=0. Alors aucun blême du genre 0^0
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    Citation en cours
  • Oui mais l'espace vectoriel nul n'a pas de base. Exit la question 2.
  • @Blueberry

    Tu te trompes! Il y a bien une base.  L'espace nul comporte une unique base, qui ne contient aucun vecteur : c'est la famille indexée par l'ensemble vide  voir wiki
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    Citation en cours
  • Ok au temps pour moi ... La famille vide constitue bien une base de l'espace vectoriel nul.
  • Modifié (8 May)
    il y a $u^{n-1}\not=0$ ... que vaut cette hypothèse si $n=0$ ?? De même que la matrice carrée d'ordre $n$ ?

  • Modifié (8 May)
    @Gache
    C'est un oral et non pas une épreuve écrite. Un membre de jury peut insister sur le cas n=0 uniquement  pour la première question pour savoir si le le candidat connaît bien les conventions. 
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    Citation en cours
  • Ils auraient dû dire:  2.) ''on suppose que $u^{n-1} \ne 0$ si $n \geqslant 1$.
  • On devrait construire des oraux uniquement sur la peur du vide, c'est plus rigolo non ? :)
    Ils auraient dû poser 2) Soit $u$ nilpotent d'indice $n$...
  • Modifié (8 May)
    @gai requin
    $x$ est un vecteur de $E$ tel que $u^{p-1} (x) \ne 0$. 

    Si $n=0$ alors $E=\{0 \}$ et $u=u^2=0$. Mais $A$ n'existe pas et $u^{n-1}$ n'est pas défini donc l'exercice n'a pas d'intérêt.
  • Os  une matrice d ordre 0 existe : c est une matrice vide. Si tu n as jamais entendu des matrices vides et leurs utilisations alors oublions.
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    Citation en cours
  • @gebrane d'accord je ne savais pas.
  • @OShine Chacun a sa définition de ce qu'est "le cours de spé" en fonction de ce qu'était SON cours de spé. On peut très bien redémontrer un résultat du cours s'il s'agit de la question qui est posée (de nombreux sujets de concours contiennent des démonstrations de cours par exemple).
    Le faire de tête, c'est facile. L'écrire, c'est plus dur ! Il y a plein de théorèmes que j'arrive à démontrer de tête et, quand je l'écris formellement, je me rends souvent compte que ce n'est pas si facile à formaliser ou alors que ma preuve de tête était fausse.
    Mais libre à toi de travailler comme tu l'entends.
  • Modifié (8 May)
    Le sujets de concours démontrent des résultat dont la démonstration n'est pax exigible comme Cayley-Hamilton etc..
    Par l'absurde, si la famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1} (x))$ est liée alors il existe $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{p-1})$ des scalaires non tous nuls tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} \lambda_k u^k (x)=0$.
    Je ne vois pas trop en quoi la preuve par l'absurde est plus rapide que l'autre preuve...
  • C'est parce que tu n'as rédigé en détail ni l'une ni l'autre...
  • Modifié (8 May)
    C'est bon j'ai trouvé.
    Je pose $j$ le plus petit entier dans $[|0,p-1|]$ tel que $\lambda_j$ est non nul.
    En appliquant $u^{p-j-1}$ aux deux membres de l'égalité on obtient $\lambda_j u^{p-1}(x) =0$ et comme $u^{p-1} (x) \ne 0$ alors $\lambda_j =0$ ce qui est absurde. 
  • Modifié (9 May)
    Non les sujets de concours proposent également parfois (voire souvent pour certains concours), comme questions intermédiaires (pas comme but du sujet) de démontrer des résultats du cours.
    Ta preuve est fausse car tu n'as pas souhaité la rédiger en entier.
  • C'est peut être plus simple rédigé ainsi. 

    Supposons par l'absurde que cette famille ne soit pas libre. Il existe des scalaires $\lambda_0, \cdots, \lambda_{n-1}$ non tous nuls tels que : $\lambda_0 x+ \lambda_1 u(x) + \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$

    Posons $j = \min \{ k \in [|0,n-1 |] \ | \ \lambda_k \ne 0 \}$.

    Alors $\lambda_j u^j (x)+ \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$

    • Si $j =n-1$ alors $\lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$ donc $\lambda_{n-1}=0$ et $\forall k \in [|0,n-1 |] \ \lambda_k =0$ ce qui est absurde.
    • Sinon $j < n-1$ alors $u^{n-j-1}(\lambda_j u^j (x)+ \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x) )=0$
    Donc $\lambda_j u^{n-1} (x) + 0 + \cdots + 0=0$ car $u^n(x)=0$ .

    Finalement $\lambda_j =0$ ce qui est absurde.
  • OK nickel ! Je suis allé un peu vite en besogne, la première était correcte, mea culpa !
    Tu remarqueras que ce n'est pas la peine de distinguer les cas $j = n-1$ et $j < n-1$.
  • ce n'est pas nickel, confusion entre l'indice de nilpotence et la dimension n de l'espace 
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    Citation en cours
  • Je n'ai pas confondu. 
    Gebrane d'après la question 2.a l'indice de nilpotence est supposé égal à la dimension de l'espace. 
    C'est une hypothèse de l'exercice. 
    Je sais très bien que l'indice de nilpotence peur être strictement inférieur à n.
  • Modifié (9 May)
    Ohsine, tu traites quelle question au juste. Sûrement je fais erreur.
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    Citation en cours
  • Modifié (9 May)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Non, mais on peut s'assurer que c'est bien le cas.
  • @gebrane je traitais la question 2.a et on dit que $u^{n-1}=0$. Donc l'indice de nilpotence vaut $n-1$ car $u^n=0$ d'après la première question.
  • J ai cru que tu voulais montrer la première question sans passer par Cayley-Hamilton
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    Citation en cours
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