Définition d'une base orthonormale

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@GaBuZoMeu

Tu as raison, il faut que l'ordre soit total. Je viens de rajouter cela dans les axiomes.

(intuitivement, dans ma petite réflexion avant de poser tout ça, je travaillais avec des ordres totaux sans m'en rendre compte).

GaBuZoMeu

Si je comprends bien, une corps-base n'existe jamais. Et donc une partie corps-libre n'existe jamais non plus.

Si $B$ est une partie d'un corps $K$, et si $F$ est un corps de caractéristique différente de $K$, l'application constante nulle de $B$ dans $F$ ne peut certainement pas se prolonger en un morphisme du sous-corps de $K$ engendré par $B$ dans le corps $F$.

Peux-tu expliquer (sans formule illisible) ce qu'est une partie $(L,T)$-libre ?

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Sinon, pour une définition plus générale de "partie-libre" il faut regarder ce que j'ai écrit dans le PDF.

GaBuZoMeu

J'avais demandé "sans formule illisible". Tu ne peux pas sans formule illisible, donc ?

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@GaBuZoMeu

Parties $(L,T)-libre$.

On se donne un langage du premier ordre $L$,  et une $L-théorie$ notée $T$.

Édit.
On suppose que $T$ est une théorie universelle et que $L$ n'a pas de symbole de relation (sauf $=$) et que $L$ a des symboles de constante.

Pour tout modèle $\mathcal M$ de $T$, on appelle $(L,T)-base$ de $\mathcal M$ toute partie $B$ de $M$ telle que pour tout modèle $\mathcal N$ de $T$, toute application de $B$ vers $N$ a un unique prolongement en morphisme de $L-structures$ de $\mathcal M$ vers $\mathcal N$.

On appelle partie $(L,T)-libre$ de $\mathcal M$ toute partie $B$ de $M$ telle que $B$ est une $(L,T)-base$ du sous $T-modèle$ de $\mathcal M$ engendré par $B$.

def(sous $T-moèle$).

Soit $\mathcal M$ un $T-modèle$, on appelle sous $T-moèle$ de $\mathcal M$ toute partie $B$ de $M$ qui est une sous $L-structure$ de $\mathcal M$ et qui munie de la structure induite par $\mathcal M$ devient un $T-modèle$.

Édit. J'ai modifié la condition sur la théorie $T$, plutôt que de demander la stabilité de l'ensemble des sous-T-modèles par toute intersection non-vide, j'ai demandé que $T$ soit une théorie universelle et que $L$ n'ai pas de symbole de relation (sauf $=$) et que $L$ a des symboles de constante.

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Dans la définition générale que j'ai donné dans mon PDF.

j'ai des difficultés à écrire la formule ici.

GaBuZoMeu

Igbinoba a dit :

On suppose que toute partie $B$ d'un $T-moèle$ $\mathcal M$  engendre un sous $T-modèle$ de $\mathcal M$ (càd: l'intersection d'un ensemble quelconque de sous $T-modèle$ d'un $T-modèle$ $\mathcal A$ est un sous $T-modèle$ de $\mathcal A$.

Merci, ça c'est compréhensible. Mais ça impose aussi une assez grosse restriction sur les théories que tu considères.

Par ailleurs, tu es bien d'accord qu'il n'y a aucune "corps-base" ni aucune "partie corps-libre" ?

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@GaBuZoMeu

En effet, il n'y en a pas, c'est l'idée derrière ma remarque plus haut où j'affirme qu'il n'y a pas de corps libre, sans corps libre, il ne peut y avoir de parties corps-libre d'un corps.

Aussi, il y a bien sûr une grande restriction ici, sinon il faudrait que j'utilise ma définition du PDF que j'ai du mal à écrire ici, je vais aller la réécrire dans un autre PDF, peut-être que la nouvelle forme sera plus appréciée.
Édit. Cependant cette restriction couvre tous les cas classique.

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GaBuZoMeu

Ça t'est vraiment impossible d'expliquer en mots ce que tu veux dire, sans utiliser de symboles abscons ?

Bon, je n'insiste pas. Le jeu n'en vaut pas la chandelle.

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@GaBuZoMeu

Soit $L$ un langage du premier ordre.
Soit $T$ une $L-théorie$.
Soit $\mathcal M$ un $T-modèle$
Soit $V$ une partie de  $ M$  telle que pour toute paire $\{ A,B\}$ de parties finies de $V$, la $sous-L-structure$ de $\mathcal M$ engendrée par $\bigcap \{ A,B \}$ (existe et) est égale à l'intersection (binaire) des  sous-L-structure engendrées respectivement par $A$ et $B$, et tel que pour toute formule atomique $(F,(x_1,...,x_n))$ vérifiée par un $n-uplet$ injectif d'éléments de $V$, l'énoncé $\forall x_1...\forall x_nF$ est conséquence de $T$.

On appelle un tel $V$ une partie $(L,T)-libre$ de $\mathcal M$.

Edit. Pour l'existence de sous-structures engendrées par l'ensemble vide, c'est un peu délicat quand le langage n'a pas de symbole de constante: ça existe si et seulement si l'intersection de l'ensemble des sous-structures est non-vide.

Donc la limitation de ma définition c'est que si l'ensemble vide n'engendre pas une sous-structure alors il n'y a pas de parties libres. Ce problème ne se pose pas lorsque le langage a des symboles de constante.

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Il y a beaucoup de belles remarques qui peuvent être faites sur les parties libres, l'une d'elles est que s'il existe des parties libre pour une structure donnée alors l'ensemble vide est une partie libre de cette structure.
Aussi, si on se donne une théorie T et qu'on montre qu'un n-uplet injectif d'éléments d'une partie libre V d'un T-modèle vérifie une certaine formule atomique, alors dans tout T-modèle, tout n-uplet vérifiera cette formule atomique.

Je reste à l'écoute si quelqu'un veut discuter sur la généralisation de la notion de parties libres.

Cordialement 

GaBuZoMeu

Là, je comprends la définition.

Et si on l'applique au cas d'un corps contant $\mathbb Q$, on trouve que des éléments algébriquement indépendants sur $\mathbb Q$ forment une famille "corps-libre" (les sous-structures pour le langage sont les sous-anneaux, et les formules atomiques sont des égalités polynomiales à coefficients entiers).

Alors c'est embêtant, parce qu'avec la définition que tu donnais avant il n'y avait pas de partie "corps-libre".

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@GaBuZoMeu
Tu utilises quel langage pour la théorie des corps ?
Le langage que j'utilise pour la théorie des corps est celui de la théorie des anneaux avec en plus un symbole de fonction unaire qui va associer à chaque élément non nul son inverse. Avec ce langage là tu retrouves qu'il n'y a pas de parties corps-libre.

PS.
En effet, la théorie des corps devient alors une théorie universelle.
Édit. Un des énoncés de la théorie des corps serait $\forall x((\lnot x=0)\to x*x^{^{-1}}=1)$ et un autre serait $0^{^{-1}}=0$, (à la place de ce dernier énoncé on pourrait plutôt prendre $0^{^{-1}}=1$ ).

Le langage des corps serait $\{ 0;1;+;-;*;(.)^{^{-1}} \}$

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La première définition que j'ai donné était une définition sur des cas speciaux, au fait j'ai imposé comme condition que toute intersection d'un ensemble non vide de sous-T-modèles devait donner un sous-T-modèle. Mais j'aurais dû dire que la théorie T devait être universelle. (Ce qui entraînera naturellement la condition précédente). J'essayais de donner de façon ad-hoc une définition plus simple pour ce cas particulier et je me suis planté dans la condition.

GaBuZoMeu

J'utilise bien sûr le langage habituel qui est celui des anneaux.

Mais je ne pense pas qu'ajouter un symbole fonctionnel pour la fonction qui à tout $x$ du corps associe l'unique $y$ tel que $x^2y=x$ et $y^2x=y$ change le fait que selon ta deuxième définition, une partie formée d'éléments algébriquement indépendants sur $\mathbb Q$ est "corps-libre".

Ou alors, dans ta définition tu voulais non seulement les formules atomiques mais aussi les négations d'atomiques ?

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@GaBuZoMeu

Là il suffit d'utiliser l'argument des caractéristiques.
En effet, pour tout nombre premier $p$ la formule $p.1=0$ sera vérifiée dans les corps de caractéristique $p$ mais pas dans ceux qui ne seraient pas de caractéristique $p$ et pourtant c'est une formule atomique appliquée à un $0-uplet$ injectif delements de l'ensemble vide.
Donc l'ensemble vide n'est corps-libre dans aucun corps de caractéristique non nul, donc aucun corps de caractéristique non nul n'a de parties corps-libre.
Édit. J'ai rajouté "non nul".

GaBuZoMeu

Tu fais une erreur de raisonnement : j'ai pris une partie d'un corps de caractéristique nulle ! Si elle est formée d'éléments algébriquement indépendants sur $\mathbb Q$ elle est corps-libre au sens de ta deuxième définition (mais pas au sens de ta première).

Bon, j'arrête là, ça ne m'amuse plus trop.

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@GaBuZoMeu
En effet, j'ai juste montré que si la caractéristique n'est pas nul alors il n'y a pas de parties corps-libre.
Tu me pardonnera, je suis un peu fatigué à minuit.
Pour le cas général, $xx^{ -1 }=1$ est vérifie pour chaque élément non nul d'un corps donc vérifié sur les $1-uplets$ de parties corps-libre d'un corps. Cependant $xx^{ -1}=1$ n'est pas vérifié pour $0$.
Ainsi, je montre qu'il n'y a pas de parties corps-libre non vide, il reste à montrer que l'ensemble vide n'est pas corps-libre non plus.

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@GaBuZoMeu
Pour montrer que $\emptyset$ n'est pas corps-libre: tu prends un nombre premier $p$, alors $(p.1)*(p.1)^{-1}=1$, est vrai dans chaque corps de caractéristique nul, mais faux dans chaque corps de caractéristique $p$.
Ainsi l'ensemble vide n'est corps-libre dans aucun corps de caractéristique nul. On savait déjà que $\emptyset$ n'était corps-libre dans aucun corps de caractéristique non nul.
Donc $\emptyset$ n'est jamais corps-libre, ceci est tout ce qu'il fallait pour démontrer qu'il n'y a pas de parties corps-libre selon la deuxième définition.

Merci pour ces questions.
Cordialement 
PS. Je rappelle que la fonction inverse associe à chaque élément non nul son inverse, et pour des raisons de stabilité, elle associe 0 (ou 1) à 0.

Édit. Un des énoncés de la théorie des corps serait $\forall x((\lnot x=0)\to x*x^{^{-1}}=1)$ et un autre serait $0^{^-{1}}=0$, (à la place de ce dernier énoncé on pourrait plutôt prendre $0^{^{-1}}=1$ ).
Le langage des corps serait $\{ 0;1;+;-;*;(.)^{^{-1}} \}$

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Une autre démonstration.
Soit $K$ un corps, soit $p$ un nombre premier qui n'est pas la caractéristique de $K$ alors $(p.1)*(p.1)^{-1}=1$ est vrai dans $K$ mais faux dans  $\mathbb F _{ _p}$. Donc $\emptyset$ n'est pas une partie corps-libre de $K$.
Donc $K$ n'a pas de partie corps-libre.

GaBuZoMeu

Ok, l'ajout incongru de ce symbole fonctionnel au langage habituel pour la théorie des corps revient à peu près à ajouter les négations d'atomiques dans tes conditions (puisque dans un corps "machin différent de 0" équivaut alors à la formule atomique "machin fois le pseudo-inverse de machin égale 1").

Quelle différence alors y a-t-il entre "corps-libre" et la formulation catégorique de partie libre pour les anneaux von Neumann-réguliers commutatif (c'est la partie essentiellement algébrique de la théorie des corps, autrement dit les anneaux von Neumann réguliers sont les sections globales d'espaces annelés en corps) ?

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J'avoue que je ne connais pas la formulation catégorique de parties libres pour les anneaux von Neumann-réguliers commutatif.
Je vais regarder cela un peu plus tard.

Sinon l'idée qui se cache derrière mon utilisation de formules atomiques, c'est que j'essayais de trouver une définition (en théorie des modèles) de liberté qui marcherait simultanément dans la catégorie des monoïdes et dans la catégorie des monoïdes Abéliens. En fait je travaillais sur les anneaux factoriels à ce moment là et je voulais donner une définition naturelle aux anneaux factoriels plutôt que celle qu'on a tous appris en L3 ou M1 et ça m'a poussé à creuser plus profondément la notion générale de liberté. Le cours sur les anneaux factoriels parlait de l'unicité d'une décomposition à l'ordre près...

GaBuZoMeu

J'avoue que je ne connais pas la formulation catégorique de parties libres pour les anneaux von Neumann-réguliers commutatif.

C'est toujours celle que j'ai donnée plus haut : si $A$ est un tel anneau et $X$ une partie de $A$, elle est libre si le morphisme $F(X)\to A$ est un monomorphisme (où $F(X)$ est l'anneau von Neumann régulier commutatif libre sur $X$).

[Utilisateur supprimé]

Là je n'ai malheureusement pas assez de familiarité avec les anneaux von Neumann réguliers, tu viens de m'apprendre leur existence. Il me faudrait du temps pour étudier ça. Et, j'ai un manuscrit sur la théorie des ensembles qui m'attends aussi.