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Montrer qu'une fonction est lipschitzienne

Modifié (7 May) dans Analyse
Bonjour, 
Voici l'énoncé : 
Montrer que la fonction suivante est lipschitzienne, avec $a > 0$ fixé :
$$\begin{array}{cccl}f:& \mathbb{R}^n& \longrightarrow& \mathbb{R}\\& x& \longmapsto &\dfrac{x}{\sqrt{||x||_{2}^{2}+a}},\end{array}$$
J'ai réussi l'exercice en utilisant la différentielle de $f$, on trouve que $f$ est $\frac{1}{\sqrt{a}}$-lipschitzienne. 
Mes calculs sont peu élégants, assez longs.
Quelqu'un aurait-il une façon assez rapide de résoudre ce problème ? 
Je me pose cette question car, intuitivement, je m'attendais à retrouver cette constante de Lipschitz $\frac{1}{\sqrt{a}}$.
Merci d'avance.

Réponses

  • Modifié (7 May)
    Il me semble que c'est immédiat :
    \[\|f(x)-f(y)\|=\left\|\frac{x}{\sqrt{\|x\|^2+a}}-\frac{y}{\sqrt{\|y\|^2+a}}\right\|\leq \frac{1}{\sqrt{a}}\|x-y\|\]

    Ah bah non, oups, j'ai été trop rapide... Bon, tant pis, je laisse tel quel (puisque c'est vrai) mais ce n'est pas si trivial.
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