Montrer qu'une fonction est lipschitzienne
Bonjour,
Voici l'énoncé :
Montrer que la fonction suivante est lipschitzienne, avec $a > 0$ fixé :
$$\begin{array}{cccl}f:& \mathbb{R}^n& \longrightarrow& \mathbb{R}\\& x& \longmapsto &\dfrac{x}{\sqrt{||x||_{2}^{2}+a}},\end{array}$$
J'ai réussi l'exercice en utilisant la différentielle de $f$, on trouve que $f$ est $\frac{1}{\sqrt{a}}$-lipschitzienne.
Mes calculs sont peu élégants, assez longs.
Quelqu'un aurait-il une façon assez rapide de résoudre ce problème ?
Je me pose cette question car, intuitivement, je m'attendais à retrouver cette constante de Lipschitz $\frac{1}{\sqrt{a}}$.
Merci d'avance.
Voici l'énoncé :
Montrer que la fonction suivante est lipschitzienne, avec $a > 0$ fixé :
$$\begin{array}{cccl}f:& \mathbb{R}^n& \longrightarrow& \mathbb{R}\\& x& \longmapsto &\dfrac{x}{\sqrt{||x||_{2}^{2}+a}},\end{array}$$
J'ai réussi l'exercice en utilisant la différentielle de $f$, on trouve que $f$ est $\frac{1}{\sqrt{a}}$-lipschitzienne.
Mes calculs sont peu élégants, assez longs.
Quelqu'un aurait-il une façon assez rapide de résoudre ce problème ?
Je me pose cette question car, intuitivement, je m'attendais à retrouver cette constante de Lipschitz $\frac{1}{\sqrt{a}}$.
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