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Développée et développante

Modifié (7 May) dans Géométrie
Bonsoir à tous
Suite à ce fil https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329978/simson#latest où il a été question de la commande Enveloppe de GeoGebra, j'ai souhaité la retester. Je suis tombé par hasard sur l'exercice suivant.
Un cercle de rayon $a$ est donné. En un point $M$ de ce cercle, la droite $d$ de direction $\vec{u}$ fixée et la droite $\Delta_M$ symétrique de la tangente en $M$ au cercle par rapport à $d$.
Enveloppe des droites $\Delta_M$.
Une bonne nouvelle : la commande Enveloppe de GeoGebra fonctionne dans ce cas précis.
Une équation paramétrique  de cette enveloppe dans le repère choisi (qui doit pouvoir se mettre à peu de frais sous forme polaire) :
  $\begin{cases}x=a\,\cos\,t\,(2\,\sin^2t+1)\\y=a\,\sin\,t\,(2\cos^2t+1)\end{cases}$
Une figure avec l'enveloppe en rouge :


Une petite surprise : la développée de cette courbe, à une similitude près, est la même (en bleu).
Une question plus ou moins saugrenue m'est venue à l'esprit : peut-on caractériser ce type d'arcs "auto développables" ?
Certainement avec une équation différentielle mais encore ?

[Edit] à l'attention d'AD : dans mon esprit, "fixé" se rapportait au vecteur u mais j'en conviens : il est plus correct d'accorder avec la direction. Merci pour ta vigilance.

Réponses

  • Voir ici
  • Bonjour à tous
    Cabri n'a pas tous ces problèmes et fournit la plupart du temps des enveloppes de bonne qualité!
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour à tous
    Il y a des courbes qui sont leur propre développée: chercher du côté des spirales logarithmiques!
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (7 May)
    La développée d'une courbe cycloïdale se déduit de cette courbe par une similitude. Pour une cycloïde, c'est une translation
    Effectivement la réciproque est intéressante, quoique je ne connaisse pas la réponse.
  • Bonjour à tous et merci pour vos commentaires.
    Je commençais à me demander si ma question n'était pas plus ou moins idiote.
    Je suis rassuré.
  • Un sujet de l'ESIM (Ingénieurs de Marseille) a, il y a bien vingt ou trente ans, cherché les courbes égales à la développée de la développée de la développée de leur développée (vous avez bien lu !) Si mes souvenirs sont exacts, la bonne représentation d'icelles passait par l'équation $X\cos\vartheta+Y\sin\vartheta-p(\vartheta)=0$ de la normale au point courant.
  • Modifié (7 May)
    Bonjour à tous
    Voici le raisonnement que je propose pour chercher parmi les spirales logarithmiques d'équation polaire : $$r=e^{k\theta}$$ celles qui sont leur propre développée.
    On savait, on ne sait plus et on ne saura plus jamais qu'on passait d'un point $M$ de la spirale à son centre de courbure par une similitude rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}2+n\pi$ avec $n\in \Z$
    Si on veut que cette similitude conserve la spirale, on doit donc résoudre pour chaque $n\in \Z$ l'équation en $k$ : $$k=\exp(k\pi(n+\dfrac 12)).$$   Avis aux amateurs !
    Amicalement
    pappus
    PS.
    J'espère seulement que je ne radote pas !
    On a donc un nombre dénombrable de solutions qu'il faudrait ensuite tracer et brusquement je suis saisi d'une paresse incoercible !
  • Modifié (7 May)
    En anglais, « développée » se dit « evolute ». https://en.wikipedia.org/wiki/Evolute
    Voici deux articles de l'American Mathematical Monthly sur les courbes semblables à leur développée, avec des références bibliographiques.
    Dommage que john_john n'ait pas une référence plus précise pour le problème de l'ESIM.
    L'étude des développées a été supprimée des programmes de prépas  en 1996 si je ne me trompe. Dommage...
  • Modifié (7 May)
    Il y a aussi un article de Puiseux de 1844, sur la $n$-ème développée :
  • Modifié (7 May)
    L'article du Monthly m'a conduit à regarder l'article d'Euler (1750) qu'il cite : Investigatio curvarum quae evolutae sui similes producunt
    Mais là franchement, en latin, et sans figure, on peut saisir quelques bribes, mais on a du mal à suivre, moi du moins. 
    Mais c'est tout de même pittoresque de pouvoir voir ceci sans sortir de chez soi.
  • Modifié (7 May)
    Merci @Chaurien pour tes contributions en particulier l'article de Puiseux que j'ai parcouru en diagonale (je le lierai avec attention plus tard).
    J'ai tout de même repéré un développement qui fait écho à la suggestion de @pappus à 15h37 quant aux spirales logarithmiques.
    Je cite l'introduction :
    La cycloïde et la spirale logarithmique possèdent, comme on sait, la propriété de se reproduire dans leurs développées ; on peut se demander si d'autres courbes n'en jouiraient pas également.
    On est au cœur du sujet : je suis définitivement rassuré.
  • Dommage que john_john n'ait pas une référence plus précise pour le problème de l'ESIM.

    Bonjour, Chaurien,
    je n'ai pas retrouvé ce sujet, car les annales de l'UPS sont parfois parcellaires pour ces écoles qui, à l'époque, avaient un concours spécifique (INT, EIVP, ESIM, ...

    Il y a eu aussi un énoncé de l'Agrég interne sur un thème analogue, mais, là encore, il manque la moitié des sujets dans les annales de l'UPS.

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