Dénombrement du nombre de rectangles
Bonjour,
Je cherche une méthode rigoureuse et générale pour dénombrer le nombre de rectangles formés par des rectangles qui se chevauchent.
J'ai trouvé 21.
.
Pour les nœuds d'un quadrillage régulier, il y a une formule générale à partir du nombre de lignes L et du nombre de colonnes C :
L (L + 1 ) × C (C+ 1 ) / 4.
Mais comment faire dans le cas de la figure avec les rectangles qui se chevauchent ?
Si je cherche à former un quadrillage avec les points d'intersections et/ou les sommets des rectangles, il ne se sera pas régulier et je ne pourrai pas appliquer la formule précédente.
Merci pour votre aide.
Je cherche une méthode rigoureuse et générale pour dénombrer le nombre de rectangles formés par des rectangles qui se chevauchent.
J'ai trouvé 21.
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Pour les nœuds d'un quadrillage régulier, il y a une formule générale à partir du nombre de lignes L et du nombre de colonnes C :
L (L + 1 ) × C (C+ 1 ) / 4.
Mais comment faire dans le cas de la figure avec les rectangles qui se chevauchent ?
Si je cherche à former un quadrillage avec les points d'intersections et/ou les sommets des rectangles, il ne se sera pas régulier et je ne pourrai pas appliquer la formule précédente.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Et bien, je ne trouve pas le même nombre de rectangles que toi.
Dans le rouge, il y a 3 verticales qui traversent entièrement le rectangle. Nommons les 10 points sur les segments haut et base de ce rectangle de gauche à droite et de haut en bas, A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
- si on considère les sous-rectangles qui sont traversés par une verticale, il y en a 3 : ACHF, BDIG, CEJH
- si on considère les sous-rectangles qui sont traversés par deux verticales, il y en a 2 : ADIF, BEJG
- enfin, il y a le rectangle rouge entier AEJF
En tout, cela fait déjà 10 rectangles.
Je dénombre les rectangles suivants.
- au-dessus du segment rouge : KLHO, LMIH, MNPI, puis KMIO, LNPH et KNPO
- en dessous de ce segment rouge : OHRQ, HPSR et OPSQ, ainsi que IPUT
- de part et d'autre de ce segment : KLRQ, LNSR et MNUT- enfin, le rectangle entier KNSQ
Il ne reste alors que le jaune dont les sous-rectangles ont déjà tous été comptés et le rectangle quadricolore CDML.
En classant les rectangles selon le nombre de couleurs que possède leur périmètre, j'arrive à $30$ rectangles!
Il me semble que bisam a oublié son LNSR (pour moi un "bleu, bleu, bleu, vert") mais je n'arrive pas au $31$ de Lou!
Mélenchons nos proches sentiments.
Cordialement
Paul.
Une petite coquille: tu notes deux points "N" et tu n'as pas de "W".
Je reste un peu sur ma faim:
La figure proposée peut se coder $12324314, 42131432$ (:= abscisses croissantes, ordonnées décroissantes) où rouge, vert, bleu, orangé =1,2,3,4. C'est de ce seul codage que j'aurais aimé déduire le nombre total de rectangles.
Bien à vous
Paul