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Matrice symétrique

Modifié (6 May) dans Géométrie
Bonjour
J'ai justifié que M est diagonalisable parce que son déterminant est non nul et qu'elle possède deux valeurs propre à savoir: 4, 9.
J'ai trouvé les deux sous-espaces propres orthogonaux donc les vecteurs (1,1) et (1,-1) qui sont bien orthogonaux.
Par contre je n'ai ni trouvé la matrice symétrique R ni la matrice triangulaire L, est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

Réponses

  • Modifié (6 May)
    Pour $R$, tu peux utiliser la réduction de $M$.
    Pour $L$, tu peux utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur les colonnes de la matrice R.
  • Tu peux faire plus rapide : la matrice $M$ est symétrique donc est diagonalisable (et cela résout quasiment la question des 2 sous-espaces propres orthogonaux).
    Comme tu as trouvé une base de diagonalisation de $M$, tu peux la diagonaliser et ensuite prendre la racine carrée des coeff diagonaux (qui sont positifs).
  • Modifié (6 May)
    Et bien écrit que $L{\,}^t\!L=\begin{pmatrix} a&0\\b&c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\0&c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac {13}2&-\frac 5 2\\-\frac 5 2&\frac {13}2 \end{pmatrix}$
    Ça te donnera un système d'équations qui doit pouvoir se résoudre.
  • DomDom
    Modifié (6 May)
    La mention « son déterminant est non nul » est superflue. 
  • Et après diagonalisation, je prends la racine carré des coefficients donc 2 et 3, puis j'en déduis la matrice R?
  • Modifié (6 May)
    Mais lorsque tu écris la matrice L avec a, b et c comment tu sais qu'un coefficient est nul ?
  • C'est le principe d'une matrice triangulaire inférieure, non ?
  • Modifié (6 May)
    Oui bien joué pour les deux questions.
    Pour $R$ effectivement la relation $D=P^{-1}MP$ s'inverse. $M=PDP^{-1}$, ce qui va te mener à $R$ en écrivant $PDP^{-1}$ sous forme d'un carré à l'aide de $\sqrt{D}$.
  • Pour trouver $R$, tu peux chercher une fonction affine $f(x)=ax+b$ telle que $f(4)=2$ et $f(9)=3$. On a alors $R=aM+bI$.
  • Merci JLT, par contre je ne connais pas le nom de ta méthode, durant ma licence j'ai pas assisté à assez de cours visiblement. Il faut dire que certaines matières étaient optionnelles.
  • Il n'y a pas de nom. Tu peux vérifier que, plus généralement, si $M$ est une matrice diagonalisable, et si $f$ est un polynôme tel que pour toute valeur propre $\lambda$ de $M$ on a $f(\lambda)^2=\lambda$, alors la matrice $R=f(M)$ vérifie $R^2=M$.
  • Modifié (6 May)
    Heuristique a dit :
    Tu peux faire plus rapide : la matrice $M$ est symétrique donc est diagonalisable (et cela résout quasiment la question des 2 sous-espaces propres orthogonaux).
    Il ne faut pas oublier de préciser symétrique réelle, car dans C, ça ne marche pas toujours...
    Ce théorème s’appelle le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres.
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