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Équation de la deltoïde

Modifié (6 May) dans Géométrie
Je vous remercie de m'aider à démarrer le calcul qui part de l'équation
x=a(2cos t+cos 2t);
 y=a(2sin t-sin 2t)
et aboutit à l'équation cartésienne (quartique circulaire) que l'on trouve partout.
Je remarque qu'elle doit être symétrique par rapport à Ox et que le carré de la distance OM vaut 5+4cos3t.
Ensuite j'ai essayé d'exprimer les monômes en fonction de cos t, en supposant que c'était une courbe algébrique de degré 4 en x et en y.
Mais je ne vois pas ensuite comment orienter le calcul.
Merci de votre aide pour me mettre sur la voie.
PS : dans C, c'est aussi compliqué et combinatoire, en tout cas c'est ce que j'ai vu en démarrant les calculs.

Réponses

  • Modifié (6 May)
    Tu peux utiliser le changement de variable $u=\tan(t/2)$, ce qui transforme ta paramétrisation en une paramétrisation rationnelle, puis, tu en déduis deux polynômes en $u$ dépendant de $x$ et $y$ qui doivent avoir une racine commune donc dont le résultant doit être nul.
    En calculant ce résultant, tu obtiens l'équation recherchée.
    Bon, en réalité, tu obtiens une condition nécessaire mais pas forcément suffisante... il faut travailler un peu plus pour la condition suffisante.
  • Bonjour,

    Je suppose $a=1$ et je pose $z=x+iy$ et $u=e^{it}$, et donc $\overline{u}=\dfrac{1}{u}$.
    On obtient $z=2u+\dfrac{1}{u^2}$ et $\overline{z}=2\overline{u}+\dfrac{1}{\overline{u}^2}=\dfrac{2}{u}+u^2$.
    On élimine $u$ entre ces deux équations et on obtient $z^2\overline{z}^2 - 4(z^3 + \overline{z}^3) + 18z\overline{z} - 27 = 0$.
    Il n'y a plus qu'à séparer en partie réelle et imaginaire pour obtenir $(x^2 + y^2)^2 - 8x^3 + 24xy^2 + 18(x^2 + y^2) - 27 = 0$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (6 May)
    Un marteau-pilon pour écraser un étourneau.
    sage: A. = PolynomialRing(QQ,4)
    sage: I = A.ideal([c^2+s^2-1, x-(2*c+2*c^2-1), y-(2*s+2*c*s)])
    sage: J = I.elimination_ideal([c,s]); J
    Ideal (x^4 + 2*x^2*y^2 + y^4 - 6*x^2 - 6*y^2 - 8*x - 3) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, c, s over Rational Field
    sage: latex(J.gens()[0])
    x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 6 x^{2} - 6 y^{2} - 8 x - 3
    

    D'où l'équation : \[x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 6 x^{2} - 6 y^{2} - 8 x - 3=0.\]Edit. Rectification de deux fautes de frappe (et donc de calcul). Et tiens, je ne trouve pas comme Rescassol. Plantage dans $\cos2t=2\cos^2t-1$ ou $\sin2t=2\cos t\sin t$ ?
    Plantage assurément, vu la tête de la « deltoïde » décrite par l'équation ci-dessus...

  • Modifié (6 May)
    Bonjour,

    Math Coss, il faudrait plutôt $I = A.ideal([c^2+s^2-1, x-(2*c+2*c^2-1), y-(2*s-2*c*s)])$.

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: On s'est croisés, mais il reste un signe à corriger.
  • Merci Rescassol, ça faisait (au moins) une faute de frappe et deux de signe ! Avec les bonnes données ça va mieux.
    sage: A.<x,y,c,s> = PolynomialRing(QQ,4)
    sage: I = A.ideal([c^2+s^2-1, x-(2*c+2*c^2-1), y-(2*s-2*c*s)])
    sage: J = I.elimination_ideal([c,s]); J
    Ideal (x^4 + 2*x^2*y^2 + y^4 - 8*x^3 + 24*x*y^2 + 18*x^2 + 18*y^2 - 27) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, c, s over Rational Field
    

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