o-minimalité
Bonjour à toutes et tous
En faisant du tri dans mes cours d'université hier, je suis tombé sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
Voici l'exercice.
Soit $\mathcal{M} = (M, <, \ldots)$ une structure où $<$ est un ordre total, dense et sans extrémités.
On considère les propriétés ci-dessous.
(1) Pour tout $A \subseteq M$ définissable, si $A$ est infini alors $A$ contient un intervalle.
(2) Pour tout $A \subseteq M$ définissable, si $A$ est majoré alors $\sup A \in M$.
Je cherche à montrer que ces deux propriétés impliquent que $\mathcal{M}$ est $o$-minimale mais je n'y arrive pas.
Voici ce que j'ai fait pour le moment.
Soit $A$ un ensemble définissable. Si $A$ est fini alors $A$ est une union finie de points donc il n'y a rien à dire.
Sinon, d'après la propriété (1), $A$ contient un intervalle $I_1$. Considérons alors $A_1 = A \setminus I_1$ qui est encore définissable. De deux choses l'une. Ou bien $A_1$ est fini ou bien $A_1$ est infini. Si $A_1$ est fini alors c'est... fini, $A$ est l'union finie d'un intervalle $I_1$ et des points de $A_1$. Si $A_1$ est infini alors on recommence comme précédemment : d'après la propriété (1), $A_1$ contient un intervalle $I_2$, et on considère $A_2 = A_1 \setminus I_2$ puis on regarde si $A_2$ est fini ou infini etc.
Problème : a priori, il n'y a aucune raison que ce processus s'arrête, autrement dit, il n'y a aucune raison a priori qu'il existe un entier $k$ tel que $A_k$ soit fini. J'ai donc essayé d'utiliser la deuxième propriété pour montrer l'existence d'un tel entier $k$ mais je n'y arrive pas. Par conséquent, je me demande si mon raisonnement initial est un bon point de départ.
Merci d'avance de votre aide.
PS1. Je précise que cela fait maintenant des années que je n'ai pas fait des maths post-bac et que je suis complétement rouillé.
PS2. Je rappelle quelques définitions rapidement ci-dessous.
Un ensemble $A\subseteq M$ est définissable s'il existe une formule du premier ordre $F$ tel que $m \in A$ si, et seulement si $F(m)$ est vraie.
$\mathcal{M}$ est $o$-minimale si tout ensemble définissable est une union finie de points et d'intervalles.
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Réponses
Il me semble qu'on peut partitionner $A$ en intervalles maximaux (éventuellement réduits à un singleton). S'ils sont en nombre fini, c'est bon. Sinon, en utilisant (2) je crois qu'on peut définir à partir de cette partition un ensemble contredisant (1).
Pour être plus clair sur ce que j'entends par "intervalles maximaux" : ce sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence $\sim$ définie sur $A$ par $x\sim y$ ssi ($x\leqslant y$ et ${]x,y[}\subset A$) ou ($y\leqslant x$ et ${]y,x[}\subset A$).
Dans quelle mesure peut-on dire que les intervalles maximaux de $A$ sont majorés ? Quand on applique (2) à chacun de ces intervalles majorés qu'obtient-on ?