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Théorème des résidus

Modifié (5 May) dans Analyse
Bonjour,
Soient $f_0(x)=\frac{1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{1}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ et  $f_1(x)=\frac{p_1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{p_2}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ deux fonctions propres d'un opérateur autoadjoint sur $L^2(\mathbb T)$, $\mathbb T:=\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$, $|p_1|<1, |p_2|<1$. Ces deux vecteurs sont associés à des valeurs propres réelles distinctes, donc forcément $f_0$ et $f_1$ sont orthogonaux. Sauf que quand j'essaye de calculer leur produit scalaire (produit scalaire canonique dans $L^2$) je ne trouve pas zéro. Je procède en utilisant le théorème des résidus: 
\begin{align*}
\langle f_0\mid f_1\rangle
=&\int_{C(0,1)}f_0(z)\overline{f_1(z)}\frac{dz}{2 \pi i z}
\\
=&\int_{C(0,1)}(\frac{1}{1-p_1z}-\frac{1}{1-p_2z})(\frac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\frac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}})\, \frac{dz}{2 \pi i }
\\
=&\frac{\overline{p_1}}{1-|p_1|^2}-\frac{\overline{p_2}}{1-p_1\overline{p_2}}-\frac{\overline{p_1}}{1-p_2\overline{p_1}}+\frac{\overline{p_2}}{1-|p_2|^2}
\end{align*}
Et là, si je réduis le tout au même dénominateur, je n'obtiens pas zéro. Je crains que j'ai mal appliqué le théorème des résidus. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonjour,
    Je ne vois pas d'erreur dans ton calcul. J'ai peut-être aussi raté quelque chose, je ne sais pas...
    Sinon, vérifie peut-être les expressions de tes fonctions.
  • Modifié (7 May)
    Tes pôles sont $z=1/p_1$ et $z=1/p_2$ qui sont de module strictement plus grand que 1. Il n'y a donc pas de pôle dans le disque unité. Soit il y a un problème avec tes définitions de $p_1$ et $p_2$, soit il faut intégrer sur un cercle $C(0,R)$ avec $R > \max(1/|p_1|,1/|p_2|)$ (mais alors ça ne correspond peut-être plus au produit scalaire $L^2$...), soit il n'y a vraiment pas de pôle et donc ça fait zéro d'après le théorème de Cauchy.

    EDIT: je n'avais pas vu qu'il y avait un $z$ dans le $dz/(2i\pi z)$, voir plus bas.

  • Modifié (7 May)
    Mais il y a aussi des pôles en $\overline{p_1}$ et $\overline{p_2}$ à cause du deuxième facteur de l'intégrande.
  • Modifié (7 May)
    Oui exact, enfin ça ne change rien à mon propos, puisque $|\overline{p_1}| = |p_1|$, idem pour $p_2$.
  • Ça change qu'il y a deux pôles dans le disque unité.
  • @Calli : relis bien ce qu'écrit @Héhéhé : il n'y a aucun pôle dans le disque unité, donc l'intégrale est nulle.
  • Modifié (7 May)
    Je ne vous suis pas. L'intégrande est $\left(\dfrac{1}{1-p_1z}-\dfrac{1}{1-p_2z} \right)\left(\dfrac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\dfrac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}}\right)$ qui a quatre pôles $\dfrac1{p_1}$, $\dfrac1{p_2}$, $\overline{p_1}$ et $\overline{p_2}$. Les deux premiers pôles sont en dehors du disque unité, mais les deux autres sont dedans puisque $|p_1|,|p_2|<1$. Non ?
  • Je ne comprends pas d'où sort ce $\dfrac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\dfrac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}}$.
  • C'est dans la deuxième ligne du calcul d'intégrales de @Niser (j'ai juste fait un copier-coller de son calcul :mrgreen: ). Et ça apparait là parce que c'est égal à $\dfrac{\overline{f_1(z)}}z$ avec $f_1(z) = \dfrac{p_1}{1-p_1z}-\dfrac{p_2}{1-p_2z}$.
  • Modifié (7 May)
    Je n'avais pas vu qu'il y avait du $z$ dans le $\dfrac{dz}{2i\pi z}$, my bad.
    Dans ce cas là, il y a bien seulement $\overline{p_1}$ et $\overline{p_2}$ comme pôles à l'intérieur du disque unité et les calculs ont l'air corrects.
    À mon avis il y a un problème avec ce $\dfrac{dz}{2i\pi z}$ qui me parait bizarre, non ?
  • Ok, donc on est revenus sur la même longueur d'onde. Parce que j'étais un peu perdu là.  :D

    $2\pi$ est peut-être en trop, mais à part ça le $\frac{dz}{i z}$ me paraît ok car il est égal à $dx$ lorsque $z:= e^{ix}$ ($x\in[0,2\pi]$, $z\in C(0,1)$).
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