Démonstration critère des séries alternées — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Démonstration critère des séries alternées

Modifié (8 May) dans Analyse
Bonsoir,

Je bloque sur la fin de la démonstration. Je ne comprends plus rien dans le passage encadré, pourquoi on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ ? 
Pourquoi l'axe est orienté vers la droite si $n$ est pair ? 
Pourquoi $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$ ? 
Pourquoi $S$ est du signe de $u_0$ ? 




«1

Réponses

  • DomDom
    Modifié (5 May)
    Hum… là encore, est-ce pertinent de te donner les arguments ?
    Prends des exemples simples et travaille. 
    Pas d’inquiétude, ce sont des genres de trucs à la fois simples et « pénibles ». Enfin, pour moi. 
    Prends ton temps !
    Choisis ton exemple et vois ce qui se passe. 
    Puis généralise. 

    Je ne reproche pas à l’auteur d’avoir fait ce schéma. Mais il est fait pour lui, ce schéma. 
    Ça se veut pédagogique (et je ne critique pas ici !) mais il me semble qu’il faut « se réaliser » ce qui se passe. Et ne pas simplement le lire. 
  • Modifié (5 May)
    Le problème est que la preuve est générale et théorique.

    Le résultat que je connais sur les suites adjacentes est que $S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n}$. Mais après je ne comprends pas les histoires de parité ni pourquoi $S_n \leq S \leq S_{n+1}$. 
  • Modifié (5 May)
    OShine, je suis d'accord avec Dom, il faut prendre des exemples très simples
    regarde ce qui se passe par exemple avec $1-1/2+1/3-1/4+...$. Il faut comprendre en premier pourquoi on a $1-1/2\leq 1$, $1-1/2<1-1/2+1/3$, puis $1-1/2+1/3-1/4$ compris entre $1-1/2$ et $1-1/2+1/3$, etc. Pour être capable de généraliser, il ne s'agit pas de calculer les fractions, mais de voir en quoi le fait que $(1/n)_n$ soit strictement croissante est le seul point utile (pour ces encadrements).
    Sinon pour répondre à ton dernier message, la première double inégalité n'est pas un résultat sur les suites adjacentes (tout au plus ce serait le fait que les suites extraites sont adjacentes qui implique ce résultat si jamais on commence bien avec le bon signe).
    Ensuite, la deuxième série d'inégalités est fausse un coup sur deux. Si $u_0>0$, la première relation que tu donnes n'implique la deuxième que lorsque $n$ est impair, et si $u_0<0$, la première relation que tu donnes n'implique la deuxième que lorsque $n$ est pair. Et dans les autres cas, les autres inégalités sont inexactes (si la suite $(u_n)_n$ ne s'annule jamais). La compréhension du principe de la démonstration sur des exemples numériques simples te permettrait de comprendre la démonstration générale et de ne pas écrire de choses visiblement fausses en général.
  • @maths2 merci mais je n'ai pas l'impression de comprendre grand chose à ton message. Avec le $u_0$ et la parité je ne comprends rien.

    Je ne vois pas comment je peux prendre un exemple simple car je ne connais pas les valeurs des sommes de séries alternées, je découvre les séries alternées. J'ai l'impression que tu prends la somme $\sum (-1)^n / 2^n$ mais je ne connais pas sa limite.

    Je n'ai pas compris comment on montre dans le cas général que $S$ est comprise entre $S_n$ et $S_{n+1}$ ni l'histoire de la parité de $n$.

  • DomDom
    Modifié (5 May)
    Prends même un exemple « sans nombre », et trace TON schéma. 
    Tu pars à gauche, puis à droite, puis à gauche, puis à droite : ça c’est le caractère alternée. 
    Et à chaque pas, le pas est plus petit que le précédent : ça c’est le caractère décroissant en valeur absolue du terme générale. 

    Je m’arrête ici. 
  • On parle de suites adjacentes.
    Raconte tout ce que tu sais sur les séries adjacentes.  Ecris tout ça, à l'endroit, à l'envers, quelles sont les propriétés nécessaires, les propriétés suffisantes etc etc. Tout ce qui te passe par la tête sur le sujet.
    Quand tu auras bien fait le tour de tout ce que tu sais sur les séries adjacentes, si tu peines encore, c'est que c'est sans espoir.
  • Modifié (6 May)
    Le livre dit que $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ mais ne le démontre pas.
    @Dom ok merci c'est plus clair.
    @lourran
    Je connais ça sur les suites adjacentes. Moi j'ai pris $a_n=S_{2n+1}$ et $b_n = S_{2n}$ et $l=S$ mais @maths2 a dit que c'est faux même si je n'ai rien compris au pourquoi.

  • Modifié (6 May)
    Ce qui est faux, c'est de penser que $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ pour tout $n$. Cela impliquerait au passage que la suite est croissante.
    En fait, je ne vois pas ce qui te bloque sur mon exemple (la limite, en premier stade, on s'en fout). C'est vraiment un théorème visuel, au point que notre professeur de terminale nous l'avait démontré (sans parler de suites adjacentes ni de séries bien sûr).
    Sur mon exemple, on a par exemple $S_1 \leq S_2$, $S_3 \leq S_4$, mais j'ose espérer que tu seras d'accord que l'assertion $S_0\leq S_1$, qui s'écrit $1 \leq 1-1/2$, est fausse ... En fait, elle n'est vraie que si $n$ est impair.
    En revanche, si tu changes les signes de tous les termes, les inégalités sont inversées et la relation n'est valable que pour les $n$ pairs.
    J'espère qu'avec cela, des exemples élémentaires et la phrase que Poirot a mise en valeur, le comportement de la suite va t'apparaître plus clair.
    (Pour être plus précis, je devrais dire que le "que" n'est valable uniquement lorsque la suite ne s'annule jamais, mais je ne vais pas t'embrouiller avec cela).
  • OShine a dit :
    Mais après je ne comprends pas les histoires de parité ni pourquoi $S_n \leq S \leq S_{n+1}$. 
    Tu as mal compris la phrase qui parle de $S, S_n$ et $S_{n+1}$.

  • Modifié (6 May)
    Oui j'avais mal compris, c'est "Il existe un entier $n$ tel que $S$ est compris entre $S_n$ et $S_{n+1}$". Mais je n'arrive pas à démontrer ce résultat...
    Je viens de comprendre le : "l'axe des réels est orienté vers la droite si $n$ est pair."
    Si le $n$ est pair alors $S_{n+1} \leq S \leq S_n$ c'est logique car on ajoute un nombre négatif et si $n$ est impair on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ c'est logique on ajoute un nombre positif.
  • A 1h09, tu as écris un message : il existe $n$ tel que $S$ est compris entre $S_n$ et $S_{n+1}$
    2 heures plus tard, tu as modifié ton message, probablement pour ajouter : 'Je viens de comprendre ... '
    Et donc, tu viens de comprendre que ta phrase 'il existe $n$ tel que ...'   , elle reflète très mal l'histoire dont on parle.
    Enfin, j'espère.

    Tu as l'habitude de modifier tes messages. C'est très désagréable sur un forum.
    Si au moins tu mettais ton message initial, puis un mot comme 'Edit :'  pour signaler que la suite du message a été ajoutée 2 heures plus tard.

    Tu dis qu'on ajoute un nombre négatif dans tel ou tel cas. Ce nombre négatif justifie que $S_{n+1}$ est plus petit que $S_n$, mais ça n'explique pas pourquoi $S$ serait entre ces 2 nombres.

    Pour un lycéen normal, qui aurait montré qu'il maitrise la situation, on lui ferait confiance, on ne lui demanderait pas de montrer cette évidence. Mais tu as tellement répété que ce n'est pas évident, qu'on est en droit de te demander de justifier cela.
  • Modifié (6 May)
    Mon grain de sel : tordre le cou à ton titre, ce n'est pas un "critère".
    Un critère c'est, pour moi, une condition nécessaire et suffisante. Ce n'est pas le cas ici, pas plus que le critère (sic) de d'Alembert ou de Cauchy.
    Je n'aurais jamais pensé qu'un bachelier puisse "caler" sur la démonstration de la condition suffisante de convergence des séries alternées.
  • Modifié (6 May)
    Prenant cette discussion en cours, j'avoue que je trouve particulièrement tordue cette démonstration qui ne cherche qu'à s'épargner deux figures (une pour chaque parité de $n$) alors que la disjonction des deux cas de parité est de toute façon effectuée. Quoique l'auteur soit sans doute immensément fier de cette trouvaille pédagogique, cela n'a pour effet que de compliquer une chose triviale en soi (l'encadrement).

    J'ai toujours conseillé à mes élèves de faire, pour un exemple numérique donné, la figure correspondante ; n'oublions pas que le signe de $v_n$ joue aussi sa petite musique.

    En plus, remplacer $n$ par $2n$ lorsqu'il est pair (ce qui se trouve au-dessus du texte encadré) est, à mon sens, une mauvaise idée : il faut l'appeler $2p$ dans ce cas.

    Seule consolation : nous avons échappé aux notations telles que $\lfloor n/2 \rfloor$.
  • @rakam c'est le nom donné dans tous les cours du supérieur : critère des séries alternées.

    @lourrran je n'ai rien modifié je ne sais pas montrer qu'il existe $n \in \N$ tel que : $S$ est compris entre $S_n$ et $S_{n+1}$ ...

    Ni pourquoi si $| R_0 | \leq u_0$ alors $S=u_0 + R_0$ est du signe de $u_0$.
  • Modifié (6 May)
    Bonjour Rakam.
    Tu as une définition personnelle du mot "critère". Je te rappelle une définition de dictionnaire : "Principe, élément de référence qui permet de juger, d'estimer, de définir quelque chose" ; une autre, plus lapidaire :  "Ce qui sert de base à un jugement."
    L'usage du mot "critère" pour ces outils de jugement qu'une série est convergente est donc bien correct.
    Cordialement.
  • Modifié (6 May)
    J'ai une idée ne me donnez pas la réponse. 
    Je pense qu'il faut s'intéresser à $R_{n+1}-R_n$ 
  • Modifié (6 May)
    Je suis d'accord que la présentation de l'auteur est curieuse et complique inutilement une trivialité.
    OShine, me plaçant dans le cas où on commence par un terme strictement positif :
    - la suite $(S_{2p})_p$ est décroissante
    - la suite $(S_{2p+1})_p$ est croissante 
    - $S_{2p}-S_{2p+1}=-u_{2p+1}=v_{2p+1}$ est positif et tend vers $0$.
    Les deux suites sont adjacentes et on note alors $S$ leur limite commune.
    L'application immédiate du résultat concernant les suites adjacentes que tu as rappelé dans ton post à 00:10 ne dit-il pas que $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$ pour tout $p$ ? Sinon, au pire, lorsqu'une suite est monotone, ne peux-tu pas écrire une inégalité entre les termes de la suite et la limite ?
    Après si bien entendu on commence par un terme strictement négatif,
  • C'est des questions qu'on résout en lycée !! Dans des programmes que OS refuse d'étudier depuis des années ...
  • J'avais lu une fois dans une  copie "la série est convergente d'après la CSCSA" il parait que cela voulait dire la "Condition Suffisante de Convergence des Séries Alternées"     ;)
  • Critère Spécial à Certaines Séries Alternées

  • Modifié (6 May)
    Finalement ma méthode ne marche pas.

    @gerard0 non c'est au programme de maths spé. Au lycée, les élèves n'y comprendraient rien aux séries alternées. 

    @math2 merci je vais essayer d'examiner en détail tes indications et faire une preuve rigoureuse. 
  • Modifié (6 May)
    OShine a dit :
    Je ne comprends plus rien dans le passage encadré, pourquoi on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ ? 
    Pourquoi l'axe est orienté vers la droite si $n$ est pair ?
    Dans le passage que tu as encadré, il n'est pas dit que tu as l'inégalité $S_n \leq S \leq S_{n+1}$.
    Il n'est pas dit non plus que l'axe est orienté vers la droite si $n$ est pair.
    Il faut vraiment que tu lises ce qui est écrit, tout ce qui est écrit, et rien que ce qui est écrit.
    Par ailleurs, on t'a donné plein d'arguments permettant de conclure sans utiliser ce subterfuge utilisé dans ton livre.
    Il serait peut-être temps que tu fasses preuve d'un peu de bon sens et que tu démontres cette propriété tout seul, sans utiliser ton livre du tout !!
    Bizarrement, ce théorème sur les séries alternées est enseigné seulement en 2ème année alors qu'il est facile à vérifier et facile à démontrer, sans doute plus que certains théorèmes sur les séries à termes positifs (et désormais les familles sommables également, du moins en MPSI !) vus en première année.
  • Il est désormais au programme en première année.
  • Modifié (6 May)
    D'accord. Oui les familles sommables ça m'a l'air bien plus costaud, d'ailleurs c'est le prochain chapitre que je vais étudier, je sens que je vais souffrir.
    Premier cas : $u_0 \geq 0$. Donc $u_1 <0$. Tous les termes d'indices pairs sont donc positifs.
    La suite $(S_{2p})$ est croissante, la suite $(S_{2p+1})$ décroissante et $S_{2p}-S_{2p+1}= - u_{2p+1} \geq 0$ et la différence tend vers $0$.
    Les suites $(S_{2p})$ et $(S_{2p+1})$ sont adjacentes.
    Montrons que $\boxed{S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}}$. C'est là où je bloque... Je ne vois pas comment démontrer ce résultat.
  • Modifié (6 May)
    OShine,
    tous les termes d'une suite croissante et convergente sont inférieurs à sa limite.
    Cordialement.
  • Relis attentivement le théorème de limite monotone...
  • Modifié (6 May)
    OShine, $S$ est la limite commune aux deux suites extraites, je ne vois pas ce qui pourrait te bloquer d'autre, avec les indications données (théorème sur les suites monotones, ou bien le théorème que tu cites toi-même).
  • Modifié (6 May)
    OShine a dit :
    La suite $(S_{2p})$ est croissante, la suite $(S_{2p+1})$ décroissante et ...  et la différence tend vers $0$.
    Montrons que $\boxed{S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}}$. C'est là où je bloque...
    C'est normal car les 2 lignes sont incohérentes si je lis bien.
  • Modifié (6 May)
    Ah oui je ne vois même pas où OShine est allé inventer la croissance de $(S_{2p})_p$, je lui ai écrit le contraire, et même le livre dit le contraire, et on sait depuis le collège que $1-1/2+1/3 -1/4 < 1- 1/2$ ...
    Je ne pensais pas qu'il y aurait une erreur ici, donc je n'avais pas lu !
  • Modifié (6 May)
    "@gerard0 non c'est au programme de maths spé. Au lycée, les élèves n'y comprendraient rien aux séries alternées." (OS)
    Encore une preuve de totale incompréhension globale. Le problème était le placement de la limite entre la suite croissante et la suite décroissante. Rien à f.. des séries !
    Et les suites adjacentes étaient vues en lycée à l'époque où OS était lycéen, mais .. "Au lycée, les élèves n'y comprendraient rien" est la généralisation de son expérience personnelle : Il n'a pas compris grand chose au lycée (ni en prépa) et ne comprend toujours rien aux programmes du lycée.
    Mais il apprend par cœur 200 000 "trucs" du supérieur.
  • Modifié (6 May)
    D'accord je reprends.
    Premier cas : $u_0$ est positif donc tous les termes d'indice pair sont positifs et ceux d'indice impair négatifs.
    On a $S_{2p+2}-S_{2p}= u_{2p+2}+u_{2p+1} $ et par décroissante de la suite $(u_n)$ on a $(S_{2p})$ décroissante. De même on montre que $(S_{2p+1})$ est croissante.
    La limite de la différence tend vers $0$ donc elles sont adjacentes et convergent vers la même limite $S$.
    Montrons que $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$. 
    Montrons que $S_{2p+1} \leq S_{2p}$. On a $S_{2p}- S_{2p+1}=-u_{2p+1} \geq 0$ d'où le résultat.
    Mais je n'arrive toujours pas à montrer que  $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$.
  • Relis le théorème de limite monotone.
  • Un bon élève de 2nde pourrait comprendre tout ça, si on passait 15 minutes à lui expliquer.
    Un bon élève de 2nde pourrait découvrir les théorèmes en question par lui même, s'il s'intéressait à la question : que se passe-t-il si j'ajoute des nombres, alternativement positifs et négatifs, de plus en plus petits en valeur absolue.
    Ohhh,  les termes de rangs pairs sont décroissants, ohhh, les termes de rangs impairs sont croissants, Ohhh, les 2 séries de nombres se rapprochent de plus en plus d'un nombre... tiens, ce nombre, je vals lui donner un nom, je vals l'appeler la limite.
    Et Ohhh, je constate que systématiquement, mes 2 termes sont de part et d'autres de la limite.

    Bien entendu, si l'élève en question a une connexion internet, sa créativité est immédiatement effacée, il ne peut plus réfléchir, et il ne va rien découvrir.
    Mais si on le prive d'internet, si on lui donne une feuille de papier et un crayon, il découvre tout ça en moins de 2 heures.
  • Mais tu parles d'un bon élève de seconde, pas de Oshine...
  • OShine a dit :
    [...] par décroissante de la suite $(u_n)$ [...]
    La suite $(u_n)_{n\in\N}$ n'est PAS décroissante !

  • Là je plaide coupable, j'ai interverti $u_n$ et $v_n$ par rapport au livre, cela a pu perturber OShine
  • Modifié (6 May)
    @JLapin
    oui, un bon élève de seconde a tous les éléments en main pour 'découvrir' que telle sous-suite est croissante, telle autre est décroissante, il ne saura probablement pas mettre le mot 'adjacente', mais il pourra découvrir que les 2 sous-suites se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre, en alternant, toujours de part et d'autre d'un nombre magique, la limite.
    Pas un génie, pas un élève exceptionnel, simplement un élève qui aime les maths. 
  • Modifié (6 May)
    Je suis d'accord avec toi...
  • Quelqu'un sait pourquoi on parle de critère "spécial" des séries alternées ? Quand je j'avais appris il y a quelques décennies en prépa, je ne crois pas qu'on le qualifiait de "spécial", est-ce que cette dénomination est apparue depuis ou bien existait-elle avant ?
  • Aucune idée. 
    Dans le Monier MP, éd. 5, 2007 il l’appelle TSCSA. 
    Théorème Spécial à Certaines Séries Alternées 

    Moi-même, je me suis déjà surpris à dire « le théorème des séries alternées » et me faire la réflexion que le mot « spécial » était pédagogique. 
    Il préciserait que c’est dans un cas particulier, qualifié de « spécial ». Mais ce n’est qu’une hypothèse…
  • J'ai toujours appelé cela la règle des séries alternées car je ne vois pas ce que ce critère a de si spécial ; peut-être certains l'appellent-ils ainsi parce qu'il ne traite pas de toutes les séries alternées... Enfin <Mode Stroumpf grognon je n'aime pas parler ici de critère car je réserve le terme aux CNS (exemple : critère de divisibilité par 2 022) />
  • DomDom
    Modifié (6 May)
    C’est ce que je pense john_john, dire « truc des séries alternées » dit que c’est pour « toutes ». 
    Si bien que quand j’étais en L1 (Deug 1 ) je croyais que « séries alternées » signifiait « ça change de signe à chaque fois et ça décroît »… on dit vite des bêtises ensuite façon dialogue de sourd. 
  • le mot "spécial" vient peut-être de ce que ce critère est un cas particulier du critère d'Abel ? (Donc spécial = cas particulier)
  • Modifié (6 May)
    Je ne sais pas d'où ça vient mais c'est comme ça qu'il est nommé dans le programme de Maths de PSI :
  • Moi j'aime bien rendre à Dieu ce qui est à DIeu: je l'appelle critère de Leibniz.
  • Je n'arrive pas à démontrer que si $u_0 \geq 0$ alors :  $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$ pourtant j'ai relu le cours de sup sur les suites ce n'est pas démontré le résultat que si $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ décroissante avec $(a_n)$ et $(b_n)$ adjacentes alors $a_n \leq \ell \leq b_n$.

    J'ai cherché plusieurs cours sur le net le résultat est donné sans démonstration. 

    Je connais le théorème de la limite monotone par cœur. Je ne vois pas en quoi il aide à montrer que la limite est coincée entre les deux suites.

  • On part de loin...
    Fais un dessin illustrant le théorème de limite monotone dans le cas d'une suite croissante...
  • 1) Où est située la limite d'une suite croissante par rapport aux termes de la suite ?
    2) Conclure !!
  • JLTJLT
    Modifié (6 May)
    Le RDO ne donne pas de nom au théorème (il manque un symbole $\infty$ dans la définition de $A$ ci-dessous, c'est mal passé au scan).


  • Modifié (6 May)
    Suggestion : au lieu d'aller chercher tel ou tel bouquin, tu vas chercher ton cerveau. Tu dois bien te rappeler où tu l'as laissé ?
    Tu oublies tous les cours de sup (ça devrait pas être trop dur), et tu essaies de te mettre dans la tête d'un élève de seconde. Il a toutes les connaissances pour résoudre cet exercice.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!