Construction de coniques

cailloux

Bonjour

  Les deux cercles enveloppe ont pour équations $x^2+y^2-2ay=0$ et $x^2+y^2+2ay=0$

Si on cherche les intersections éventuelles de ces cercles avec la droite d'équation $ux+vy+w=0$, on tombe sur deux équations aux abscisses (ou aux ordonnées) du second degré dont les discriminants sont de la forme :$$\Delta'_1=u^2(au^2-2avw-w^2)=u^2q_-(u,v,w)\qquad\text{et}\qquad \Delta'_2=u^2(au^2+2avw-w^2)=u^2q_+(u,v,w).$$ Les foyers distincts sont déterminés lorsque la droite d'équation $ux+vy+w=0$ est sécante avec les deux cercles ($q_->0 \text{ et } q_+>0$) ou lorsque cette droite est extérieure aux deux cercles $q_-<0 \text{ et } q_+<0$).

Il reste à déterminer dans ce cas les positions relatives de la directrice donnée, du foyer associé, et de $O$ (ellipse ou hyperbole selon le cas).  
Amicalement.

Ludwig

Bonjour,

Oui, les deux cercles enveloppe ont pour équations $x^2+y^2-2ay=0$ et $x^2+y^2+2ay=0$. Et j'aimerais bien avoir avoir quelques détails de cela. Merci!

cailloux

Bonjour

  Dans les cas limites (un unique point $F$ où la perpendiculaire à la directrice issue de $O$ est tangente au cercle de diamètre $PQ$), si $P(p,0)$, on peut établir que les équations de la directrice sont de la forme : $$2apx+(p^2-a^2)y-2ap^2=0\qquad\text{ ou  }\qquad 2apx-(p^2-a^2)y-2ap^2=0$$

 et montrer que l'une des distances de $U(0,a)$  ou $V(0,-a)$ à cette droite vaut $a$.

On peut aussi calculer les coordonnées des points de contact ; par exemple $M\left(\dfrac{2a^2p}{p^2+a^2},\dfrac{2ap^2}{p^2+a^2}\right)$