Filtres sur les entiers naturels et extractrices

troisqua

Bonjour,

Si $F$ est un filtre sur les entiers naturels ne contenant aucune partie finie (donc plus fin que le Fréchet), peut-on construire une suite $\phi_n$ de naturels telle que pour tout $X\in F$, il existe un rang à partir duquel tous les $\phi_n$ sont dans $X$ ?

JLT

Non. Prenons pour $F$ un ultrafiltre ne contenant aucune partie finie. Supposons qu'il existe une telle suite, que l'on pourra supposer injective. Soit $A$ l'ensemble des $\phi_{2n}$ et $B$ l'ensemble des $\phi_{2n+1}$. Les $\phi_{n}$ ne sont pas tous dans $A^c$ à partir d'un certain rang (puisqu'un terme sur deux est dans $A$), donc par hypothèse on a $A^c\notin F$. Comme $F$ est un ultrafiltre, on en déduit que $A\in F$. De même $B\in F$, donc $\emptyset = A\cap B\in F$, contradiction.

troisqua

J'adore cette réponse ! Je n'ai pas pensé à fabriquer deux ensembles disjoints à partir des $\phi_n$.  Merci JLT.

troisqua

Du coup, as-tu un contre-exemple si $F$ possède une base dénombrable ?

JLT

Si $F$ possède une base dénombrable $(B_n)$, alors on peut choisir par récurrence un élément $\varphi_n\in \cap_{k\leqslant n}B_k \setminus \{\varphi_k\mid k<n\}$.

troisqua

Oui j'ai ça aussi de mon côté, on peut même supposer les $B_n$ décroissants pour simplifier l'expression de la construction. Du coup c'est le caractère "base de filtre dénombrable" qui permet de définir des extractrices.

Merci pour tes réponses.