Lemme de Burnside
Bonjour.
Soit $G$ un groupe fini agissant sur $X$. Pour $g$ dans $G$ on définit :
$$X^g=\{x\in X \mid g.x=x\}$$
Soit $G$ un groupe fini agissant sur $X$. Pour $g$ dans $G$ on définit :
$$X^g=\{x\in X \mid g.x=x\}$$
Je comprends parfaitement pourquoi $\sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{x\in X} |Stab(x)|$, mais je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas à le démontrer par bijectivité... Pourtant ça paraît évident. Merci par avance pour votre aide.
[William Burnside (1852-1927) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Si tu projettes sur $G$, les fibres sont $X^g$ donc le cardinal est le terme de gauche, et si tu projettes sur $X$, les fibres sont $Stab(x)$, donc le cardinal est le terme de droite.
Sans parler de projection, tu as deux bijections évidentes $\coprod_{g\in G}X^g \to Y \leftarrow \coprod_{x\in X}Stab(x)$
D'accord, merci. J'ai compris.
JLapin, montrer par bijectivité signifie, comme vous le savez bien je pense, montrer en explicitant une bijection. J'imagine que c'est le vocabulaire qui vous dérange.
On se donne $X$ et $Y$ des ensembles finis et $|X|=n$ et $G$ un groupe de permutation agissant sur $X$. On se donne $w$ la fonction poids sur $Y$ et on définit : $S_w = \{f:X\rightarrow Y \mid W(f)=w\}$. (Le poids d'une fonction $W(f)$ est bien sûr le produit des poids des valeurs). On cherche à appliquer le lemme de Burnside. Dans la feuille, il est dit que le théorème de Burnside permet de calculer $|S_w|$ (et la formule est donnée explicitement).
Je n'ai pas précisé ces définitions car je pensais qu'elles étaient classiques en algèbre combinatoire.
On définit alors $W(f)(y) := \prod_{x\in f^{-1}(\{y\})} w(x)$, ce qui donne une fonction poids sur $Y$. Alors, $\{f : X\to Y \mid W(f) = w'\}$ est au moins quelque chose qui a un sens - je ne sais pas si c'est ce que ton énoncé voulait dire (peut-être me suis-je créé une histoire alors que l'énoncé voulait dire "$w$ est constante égale à $W(f)$" avec ta définition de $W(f)$ ? )
Bon, ensuite, l'énoncé, au-delà du problème de typage, n'a aucun sens puisque $S_w$ dépend de $Y$ mais pas $X/G$. Par exemple si $Y = \emptyset$ (et $X$ est non vide), alors $S_w = \emptyset$, ou si $Y =*$, alors $S_w$ est aussi un singleton, tandis que $X/G$... Donc qui est $Y$ par rapport à $(X,G)$ ? Cela doit être quelqu'un de particulier. etc. etc.
Donc il serait bon de voir s'il ne manque pas 10000 informations dans cet énoncé, et si les définitions sont les bonnes
Merci pour cette clarification. Il y a clairement des erreurs d'énoncé. Je vais essayer de les corriger.