Polynôme minimal

OShine

Bonsoir
Je ne comprends pas les 2 passages encadrés.

Rescassol

Bonsoir,

Merci OShine, ça me fournit ma dose de rire pour m'endormir.

Cordialement,
Rescassol

math2

Le deuxième encadré est expliqué après le "car".

Sinon, la présentation est un peu curieuse car elle pose une définition sous la forme qui sous-entend que l'objet existe, et son existence est signalée juste après. Voici un argument possible (je te donne juste de quoi partir). $L(E)$ est de dimension finie. Que dire alors de la famille $\{id,u, u^2, \ldots, u^N\}$ pour $N$ assez grand ?

OShine

Merci oui c'est expliqué après le "car" mais je ne vois pas le rapport entre ce qui est après le "car" et le degré du polynôme minimal supérieur à $1$.
Pourquoi si $P(u)= \lambda id_E \ne 0$ alors $\deg \pi_u \geq 1$ ? C'est où qu'on utilise $\dim E \ne 0$ dans le raisonnement ? 
Si on note $\dim E=n$ alors $\dim L(E)= n^2$ donc la famille $(id, u, \cdots, u^{n^2})$ est liée car elle contient $n^2+1$ éléments.
Donc il existe des scalaires non tous nuls $(a_0, \cdots, a_{n^2})$ tels que $a_0 id + a_1 u + \cdots + a_{n^2} u^{n^2}=0$
Le polynôme $P(X)=a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n^2} X^{n^2}$ est annulateur de $u$ et non nul.
Mais pourquoi dans la proposition 54. 1 on ne donne pas la condition $E$ non nul ?

Philippe Malot

Si $P(u)\neq 0$ alors $P$ n'est pas un polynôme annulateur de $u$.
Quel est le degré d'un polynôme constant non nul ?
Que se passe-t-il si $E$ est de dimension $0$ ?

topopot

Surtout que c'est une hypothèse (le "non nulle") non nécessaire, la preuve ça t'embrouille. 

Le polynôme minimal existe toujours en dimension finie même nulle. Tu peux vérifier que si E est de dimension nulle, alors l'unique endomorphisme de E (à quoi est-il égal ?) admet comme polynôme minimal 1.

bisam

Si $\dim(E)=0$, $Id_E=\tilde{0}$. Donc, lorsque l'on affirme que $\lambda Id_E\neq \tilde{0}$, on utilise bien le fait que $\dim(E)\geq 1$.

Pour ce qui est de la proposition 54.1), la démo que tu as faite marche très bien avec $n=0$... donc il est inutile d'exclure ce cas.

Maintenant, pour répondre à ta toute première question, les réponses sont fournies dans les deux photos que tu as données. Il suffit d'appliquer les théorèmes qui sont écrits précédemment !

OShine

@Philippe Malot le degré d'un polynôme constant non nul est $0$.
Si $E$ est de dimension $0$, alors $u=0$ . 

Montrons que si $E=\{ 0\}$ alors $\pi_u =1$.  Prenons $P(X)=1$. Alors $P(u)=id_E =0$ donc $\pi_u \mid 1$. Ainsi $\pi_u = \pm 1$ mais $\pi_u$ est unitaire par définition donc $\pi_u =1$.

@bisam
Merci mais je n'arrive pas à comprendre l'implication $P(u)= \lambda Id_E \ne 0 \implies \deg \pi_u \geq 1$...

JLapin

OShine

Essaye de comprendre sa contraposée dans ce cas...

Et tu as oublié de quantifier $\lambda$ en écrivant l'implication...

Je sens que ce traitement du cas particulier de l'espace nul va être très long...

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

bisam

Tu oublies la quasi totalité des quantificateurs de ton implication, c'est pour cela que tu ne comprends pas.

Ce qui est dit dans ton livre, c'est : $\forall P\in\mathbb{K}[X], \forall \lambda\in\mathbb{K}^*, (P=\lambda) \Rightarrow (P(u)\neq \tilde{0})$, autrement dit, aucun polynôme constant non nul n'est annulateur de $u$. Par conséquent, le polynôme minimal en particulier ne peut pas être constant.

OShine

@JLapin j'ai déjà montré que si $E$ est l'espace nul alors $\pi_u = 1$ ...

@bisam
Ok merci, on utilise aussi que par définition $\pi_u$ est unitaire donc il ne peut pas être nul.
À votre avis à quoi ça sert de prendre comme hypothèse $E$ de dimension non nulle pour le cours de réduction de MP ?

JLapin

Ca sert à pouvoir dire qu'une homothétie de E possède une unique valeur propre par exemple.

OShine

D'accord merci.

Si $u(x)= \lambda x $ alors $\lambda$ est valeur propre de $u$ associé au vecteur propre $x \ne 0$ mais si $E= \{ 0\}$ on ne peut pas parler de vecteur propre car $\forall x \in E \ x=0$.

bisam

En dimension 0, il se passe des choses curieuses.

Il n'y a pas de vecteurs propres donc pas de valeurs propres. Cependant, tout endomorphisme est diagonalisable !

Les matrices à 0 ligne et 0 colonne sont faciles à écrire mais pénibles à lire.

L'intérêt du polynôme caractéristique et du polynôme minimal, qui sont toujours égaux dans ce cas, est plutôt limitée... mais il reste vrai que la trace de tout endomorphisme est égal à la somme des racines du polynôme caractéristique comptées avec multiplicité et le déterminant égal à leur produit.

Bref, ce n'est pas indispensable de l'exclure, mais c'est quand même plus courant de ne considérer que des espaces non réduits à ${0}$ car il ne s'y passe pas grand chose !

OShine

Comment on sait que tout endomorphisme est diagonalisable si $E=\{0 \}$ ? 

Soit $u \in \{0 \}$ canoniquement associé à $M$ alors $\chi_M (X)= \det (X I_n-M)=\det(X I_n)= X^n =X^0 =1$. Donc $\pi_u =1$.

JLapin

OShine a dit :

Comment on sait que tout endomorphisme est diagonalisable si $E=\{0 \}$ ?

C'est quoi la définition de "diagonalisable" ?

Que connais-tu comme endomorphisme de l'espace nul ?

Qu'est-ce qui l'empêcherait d'être diagonalisable ?

PS pour la modération : ce n'est pas une recopie in extenso du message ci-dessus, c'est une citation, ce qui permet de suivre plus aisément le fil de la discussion. Merci d'avance.

OShine

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$.
Seul l'endomorphisme nul appartient à l'espace nul, mais il n'y a aucune vecteur propre dans $\{0 \}$ donc c'est impossible.

troisqua

Une base de vecteur(s) propre(s) de $E$ est une partie $B$ qui est une base de $E$ telle que $\forall e, e\in B\implies (f(e),e)$ est liée.

Si $\emptyset$ n'était pas une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ alors il existerait $e$ tel que $e\in \emptyset$ et $(f(e),e)$ libre, ce qui est faux. Donc $\emptyset$ est une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ donc $f$ diagonalisable.

gai requin

$f$ est annulé par $X$ scindé à racine simple.

JLapin

Et le polynôme constant $1$ est aussi scindé à racines simples

OShine

@troisqua merci très subtil comme raisonnement. Il faut se souvenir que $\{ 0 \} = Vect \emptyset$ et qu'une base de l'ensemble réduit à 0 est l'ensemble vide.

@JLapin
@gai requin 
C'est vrai que c'est plus simple avec le polynôme annulateur scindé à racines simples.

gerard0

"Il faut se souvenir que .." Pourquoi toujours se souvenir ? Pourquoi ne pas penser directement, seul ? Tu n'es pas un robot !