Dimension finie — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Dimension finie

Modifié (4 May) dans Algèbre
Bonjour
Un exercice d'oral de CCINP 2021.

Soient $(u,v) \in \mathcal L(E,F)^2$ avec $E$ et $F$ deux $K$ espaces vectoriels de dimension finie.
Montrer que $\dim \ker (u+v) \leq \dim \ker(u) \cap \ker (v) + \dim Im(u) \cap Im (v)$

On remarque que $u+v \in \mathcal L(E,F)$. 
D'après le théorème du rang, on a $\dim E = \dim \ker (u+v) + \dim Im (u+v)$
Donc $\boxed{\dim \ker (u+v)= \dim E - \dim Im (u+v)}$
Après je bloque.

Réponses

  • Modifié (4 May)
    Bloquer, c'est ne pas avoir d'idées. Or, tu as certainement des idées... simplement, elles ne te semblent pas aboutir.Commence par écrire d'autres choses que tu pourrais écrire, d'autres pistes.
    PS : A priori, je ne sais pas faire cet exo non plus, à l'heure où j'écris ces mots.
  • Modifié (4 May)
    Formule de Grassman peut-être ?
    [Hermann Günther Grassmann (1809-1877) prend toujours une majuscule. AD]
  • Modifié (4 May)
    Tu peux appliquer la formule du rang à la restriction de $u$ à $\ker(u+v)$.
  • La propriété à démontrer est-elle exacte ?
  • Oui, elle l'est : l'indication de @JLapin est parfaite.
  • Modifié (4 May)
    @julian Grassman marche pour des sous-espaces vectoriels...
    @JLapin merci, ce fameux endomorphisme induit souvent utile.
    $\ker(u+v)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Posons $w=u_{ | \ker(u+v)} \in \mathcal L( \ker(u+v) , F)$.
    D'après le théorème du rang, on a $\boxed{\dim \ker (u+v) = \dim \ker (w) + \dim Im(w)}$.
    Or $\ker (w)= \{ x \in \ker (u+v) \ | \ u(x)=0 \}$ et $Im(w)= \{ u(x) \ | \  x \in \ker (u+v) \}$.
    Donc $\boxed{\ker (w)= \ker (u) \cap \ker(u+v)}$ et $Im(w) \subset Im(u)$.
    D'après la formule de Grassmann : $\dim \ker (w)= \dim \ker (u) + \dim \ker (u+v) - \dim \ker (u) \cap \ker (u+v)$
    Je ne vois pas comment aboutir, j'ai écrit trop de formules et je ne vois pas comment arriver au résultat.
  • Modifié (4 May)
    Pas besoin de Grassmann. Essaye de trouver des réécritures du noyau et de l'image de $w$.
  • Modifié (4 May)
    $\ker(w) := \{x \in E\mid u(x) = 0,\ u(x)+v(x) = 0\} =\ ??$
  • Modifié (4 May)
    Ce n'est pas si simple CCP j'ai bien fait de me prendre des exercices de ce niveau.
    Merci, j'arrive mieux à raisonner par inclusion que directement sur les ensembles.
    Soit $y \in \ker (w)$. Alors $y \in \ker (u+v) \cap \ker (u)$. Donc $u(y)=0$ et $(u+v)(y)=u(y)+v(y)=v(y)=0$.
    Donc $\ker(w) \subset \ker(u) \cap \ker (v)$. Réciproquement, si $z \in \ker (u) \cap \ker (v)$ alors $u(z)=v(z)=0$ donc $(u+v) (z)=0$.
    On a montré que $\boxed{\ker(w)= \ker (u) \cap \ker (v)}$
    Soit $y \in Im(w)$. Alors il existe $x \in \ker(u+v)$ tel que $y=w(x)$. Mais alors $y=u(x)$. Comme $x \in \ker (u+v)$ on a $u(x)+v(x)=0$ donc $u(x)=- v(x)=v(-x)$ par linéarité.
    Ainsi, $y =u(x)= v(-x)$ donc $y \in Im(u) \cap Im(v)$.  On a montré $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$.
    Réciproquement, soit $z \in Im(u) \cap Im(v)$. Alors $z=u(x)$ et $z=v(y)$ avec $x,y \in E$.  Donc $u(x)=v(z)$. 
    N'ayant pas réussi à démontré la réciproque, on peut simplement dire que $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$ donc $\dim Im(w) \leq \dim  Im(u) \cap Im(v)$. 
    $\dim \ker (u+v) = \dim  \ker (u) \cap \ker (v) + \dim Im(w) \leq  \dim  \ker (u) \cap \ker (v)  +  \dim  Im(u) \cap Im(v)$. 
    Ce qui donne $\boxed{\dim \ker (u+v) \leq \dim  \ker (u) \cap \ker (v)  +  \dim  Im(u) \cap Im(v)}$.
  • Merci, pour une fois que j'arrive à trouver un exercice avec 2 indications.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!