Représentation induite d'un caractère d'un sous-groupe d'indice 2 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Représentation induite d'un caractère d'un sous-groupe d'indice 2

Modifié (3 May) dans Algèbre

Le groupe de Weil de $\R$, $\mathcal{W}(\R)$ est $\C^\times \rtimes \operatorname{Gal}(\C/\R)$ où $\operatorname{Gal}(\C/\R)=\{1,j\}$ agit sur $\C^\times$ par conjugaison complexe: $jzj^{-1}=\overline{z}$. Il contient $\C^\times$ comme sous-groupe distingué d'indice 2.

Soit $a\in \frac12 \Z$ et soit $\chi_a$ le caractère $\C^\times\to S^1$ donné par $z\mapsto (z/\overline{z})^a$.

La représentation induite $V(a)=\operatorname{Ind}_{\C^\times}^{\mathcal{W}(\R)}(\chi_a)$ est une représentation de dimension 2 de $\mathcal{W}(\R)$.

Dans cet article sur la page 26, il y a un nombre d'affirmations sur $V(a)$ que j'essaie de prouver à la main:

  1. $V(a)$ est isomorphe à $V(-a)$ et $V(a)$ est autoduale;
  2. Elle est symplectique si $a\in \frac12+\Z$ et orthogonale si $a\in \Z$, dans ce dernier cas son déterminant est égal au caractère "signe" de $\mathcal{W}(\R)^{\text{ab}}=\R^\times$; 
  3. $V(0)$ est somme directe de la représentation triviale et le caractère "signe".

Ce que j'ai fait:

Explicitement, on a $V(a)=\{ f\colon \mathcal{W}(\R)\to \C\text{ fonctions telles que }f(hg)=\chi_a(h)f(g)\text{ pour tout }h\in \C^\times,g\in \mathcal{W}(\R) \}\cong \C^2$ avec l'action $(g\cdot f)(g')=f(g'g)$. Une telle fonction est clairement déterminée uniquement par l'image de $1$ et de $j$, car $\mathcal{W}(\R)=\C^\times\sqcup \C^\times j$.

Si l'on prend la base $f_1,f_2$ avec $f_1(1)=1,f_1(j)=0$ et $f_2(1)=0,f_2(j)=1$, on calcule aisément que $z\in \C^\times$ agit comme $\begin{pmatrix} \chi_a(z) \\ &\chi_a(z)\end{pmatrix}$ et $zj \in  \C^\times j$ agit comme $\begin{pmatrix} & \chi_a(z) \\ \chi_a(\overline{z})\end{pmatrix}$.

Comment on démontre, par exemple que la représentation est orthogonale si $a\in \Z$ ? Il faut trouver une forme bilinéaire symétrique sur $\C^2$ qui est invariante par l'action..

Toute aide est la bienvenue.

Réponses

  • Modifié (4 May)
    Je pense qu'il y a une erreur dans la première matrice, qui devrait être $\left(\begin{array}{cc} \chi_a (z) & 0 \\ 0 & \chi_ a ({\bar z})\end{array}\right)$.
  • Modifié (4 May)
    C'est en concordance avec la formule de restriction de Mackey qui donne $({\rm Ind}_{\C^\times}^{W(\R )}\chi_a )_{\vert \C^\times} = \chi_a \oplus \chi_a^{\sigma}$.
     Ce qui me chagrine alors, c'est que quand on calcule le déterminant de $V(a)$ on trouve un caractère quadratique qui ne dépend pas de $a$ ...
  • Il y a une seule forme symplectique (bilinéaire antisymétrique) sur $\C^2$ : c'est le déterminant (à un facteur près). Donc pour voir si la représentation est symplectique, il suffit de regarder son déterminant. Or celui-ci ne semble pas dépendre de $a$. Il y a quelque chose en contradiction avec ce qui est affirmé dans l'article. Sûrement quelque chose que j'ai compris de travers ...
  • Bonjour Paul, la première matrice doit effectivement être $\begin{pmatrix} \chi_a(z) \\ & \chi_a(\overline{z}) \end{pmatrix}$, on voit alors que $\det V(a)$ est le caractère quadratique qui envoie $\C^\times$ sur 1 et $\C^\times j$ sur -1, indépendant de $a$.

    Dans un autre article de Gross, la même affirmation est faite:


    Je ne comprends pas où est notre erreur.
  • Oui, visiblement elle n'est  jamais symplectique.  Je ne vois pas où est l'erreur non plus.
  • Modifié (9 May)
    Bonjour
    J'ai aussi essayé de faire le calcul, et je trouve que le déterminant de $V(a)$ envoie $j\mapsto (-1)^{2a+1}$ (ce qui le caractérise complètement car il est d'ordre fini car $V(a)$ est d'image bornée).
    Pour ça j'utilise la formule du déterminant d'une induite :
    $$ \det \mathrm{Ind}_{G/H} \chi = (\chi \circ \mathrm{transfer}) \cdot \mathrm{sgn}(G/H) ,$$ où $\mathrm{transfer} : G^{ab} \to H^{ab}$ et $\mathrm{sgn}(G/H)$ est la signature de la représentation de permutation $G/H$.
    Ici le transfert envoie $j$ sur $-1$, et la signature aussi.
    Là où il faut faire attention c'est avec la puissance non entière : pour $z = -1$ on n'a pas $(z/\bar{z})^a = 1^a = 1$, il faut comprendre la notation $(z/\bar{z})^a$ comme $z^{2a}|z|^{-2a} = (-1)^{2a}$, ce qui est légitime car $2a \in \Z$.
    Amicalement,
    Aurel
  • Bonjour Aurel,

    Merci beaucoup pour votre réponse, je ne connaissais pas cette formule pour le déterminant d'une induite. (Il y a une coquille : le transfert va dans l'autre sens.)

    Qu'est-ce que vous voulez dire exactement par « l'image de $j$ le caractérise complètement car il est d'ordre fini car $V(a)$ est d'image bornée » ?

    D'ailleurs, est-ce que vous voyez où est l'erreur dans mon calcul ? On est d'accord que $\chi(z)\chi(\overline{z})=1$, le problème avec la puissance non-entière n'intervient pas là.
  • D'ailleurs, comment est-ce que vous avez calculé $\operatorname{Ver}(j)=-1$ ? Moi, j'arrive à $\operatorname{Ver}(j)=1$ .. Ma référence est Chapitre 7 de "Finite Groups" par Serre.



    $H=\C^\times$, $g=j$, $f=2$, alors $G/C_g H$ est trivial et donc $\operatorname{Ver}(j)=j^2=1$.

    Si $g=z\in H$, alors $\operatorname{Ver}(g)=z\overline{z}$.

    ....

  • Modifié (9 May)
    Bonjour Heinz,
    Oui tu as raison pour le sens du transfert (j'ai édité mon message). C'est simplement le calcul du déterminant en utilisant la forme par blocs des matrices de la représentation induite, mais une fois qu'on a la formule ça donne moins de chances de se tromper dans le calcul.
    À propos de ma phrase cryptique sur l'image bornée : ce que je voulais dire est que le caractère $\chi_a$ étant d'image bornée (de module $1$), c'est aussi le cas de la représentation induite, donc aussi de son déterminant. Par contre, mon affirmation que dans ce cas l'image de $j$ détermine complètement le caractère est fausse, j'ai été un peu vite en besogne... Cela dit on peut facilement calculer le caractère déterminant complet.
    Le problème est dans ton calcul de la matrice de l'action de $zj$ : les blocs devraient être $\chi_a(\bar{z})$ et $\chi_a(-z)$ [edit : j'ai compris d'où vient vraiment ton erreur, cf dernier paragraphe ci-dessous].
    Pour ce qui est du transfert, j'ai triché, je ne l'ai pas calculé (mais on doit retrouver la même chose par un calcul explicite) : je sais que les applications de réciprocité de la théorie des corps de classe locale sont $W_\R \to \R^\times$ donnée par $j \mapsto -1$ et $z \mapsto |z|^2$ et $W_\C \to \C^\times$ l'identité, et que le transfert est envoyé sur l'inclusion des corps par réciprocité.
    Pour ton calcul du transfert avec la formule donnée par Serre : $j^2 = -1$, pas $1$ (c'est peut-être la même erreur que tu as faite en calculant les matrices de la représentation induite). D'ailleurs ta définition du groupe de Weil de $\R$ est fausse, ce n'est pas un produit semi-direct, c'est une extension non scindée. En fait, je crois que ton calcul était correct avec le produit semi-direct, mais ce n'est pas le bon groupe.
    Amicalement,
    Aurel
  • Bonjour Aurel,

    Maintenant je rappelle avoir lu dans Tate que $W_{\R}$ est une extension non-scindée, mais je crois que certaines choses doivent s'apprendre à la dure :)
    C'est bête mais effectivement, le problème est là ! Au passage, j'ai encore confondu le quaternion $j$ d'ordre 4 avec l'action de $j$ sur $\C^\times$, qui est conjugaison complexe (ordre 2) ... Pas très malin.

    Pourtant, j'ai appris pas mal de choses grâce à cette question :
    - la vraie définition du groupe de Weil de $\R$
    - la formule pour le déterminant d'une représentation induite
    - qu'il faut faire attention avec la puissance non-entière
    - le diagramme commutatif qui comprend le transfert et les applications de réciprocité

    Merci beaucoup pour ton aide !
  • Modifié (9 May)
    Bonjour Heinz
    De rien, avec plaisir ! À vrai dire, je n'avais pas vraiment fait attention non plus à cette question de $W_\R$ scindé ou pas, et je n'avais pas remarqué le problème à ma première lecture. :smile:
    Amicalement,
    Aurel
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