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Inverse d'une fonction analytique

Modifié (2 May) dans Analyse
J'ai la définition suivante d'une fonction analytique sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$: $f$ est analytique sur $U$ si pour tout $z_0$ in $U$, il existe $r>0$ avec $D(z_0,r)\subset U$ et il existe une suite $(a_n)_{n\in\mathbb  N}$ de $\mathbb C$ tels que pour tout $z\in D(z_0,r)$, $f(z)=\sum_{n\ge0}a_n(z-z_0)^n$.
Supposons que $f$ ne s'annule pas sur $U$. Je voudrais montrer <<à la main>> que $1/f$ est analytique sur $U$.

Sur $D(0,r)$, on a ($a_0\ne0$ puisque $f(z_0)\ne0$)
$$f(z)=\frac1{a_0\left(1+\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{a_0}(z-z_0)^n\right)}$$
Mais comme je n'arrive pas à voir que la somme $\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{a_0}(z-z_0)^n$ est de module $<1$, je suis bloqué.
Si quelqu'un sait comment on termine...

Réponses

  • On met $z-z_0$ en facteur d'une fonction continue comme somme d'une série entière donc bornée au voisinage de $z_0$ ?
  • Modifié (2 May)
    Il te suffit de montrer que le module qui va bien est strictement plus petit que 1 au voisinage de $z_0$.
    En fait, le plus simple c'est de prendre $z$ encore plus proche de $z_0$ pour qu'une certaine famille soit sommable...
  • Modifié (2 May)
    Merci. Ca débloque. Après, sauf erreurs de calculs, je dois montrer que la série
    $$\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{ka^k_0}\sum_{n_1+\cdots+n_k\le s}a_{n_1}\cdots a_{n_k}$$
    est sommable. Quelqu'un a une idée ?
  • Il devrait rester des termes en $(z-z_0)^k$ dans ta famille : ce serait plus pratique pour en démontrer la sommabilité.
  • Si $S$ est une série entière de rayon de convergence non nul et pour laquelle $S(0)\not=0$, alors la série formelle $T$ pour laquelle $ST=1$ a également un rayon de convergence non nul. C'est (de mémoire) une conséquence relativement directe du résultat (plus délicat) sur la composition : si $U$ et $V$ sont des séries de rayon de convergence non nul avec $V(0)=0$, alors $U \circ V$ est de rayon de convergence non nul. Voir le chapitre 1 (celui sur les séries entières) du livre de Cartan.
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