Nombres premiers entre eux

nyadis

Bonjour à tous! 
J'aimerais montrer que quel que soit l'entier $n$ supérieur ou égal à 7, il existe un entier $p$ strictement compris entre 1 et $n-1$ tel que $n$ soit premier avec $p$.
Dans le cas où $n$ est impair il suffit de considérer $n-2$ mais quand $ n $ est pair j'ai quelques soucis ! 
Merci 

JLapin

En utilisant judicieusement le théorème des restes chinois, ça semble faisable, non ?

gerard0

Bonjour.

Avec le postulat de Bertrand, tu as un premier strictement entre n/2 et n, qui ne peut diviser n.

Cordialement.

Onoff

Si $n\equiv 0\,[4]$ (resp. $n\equiv 2\,[4]$), prendre $p=\dfrac{n}{2}-1$ (resp. $p=\dfrac{n}{2}-2$).

nyadis

Merci bien. 

gai requin

Ça se fait bien avec l'indicatrice $\varphi$ d'Euler.
En effet, pour tout entier $n\geq 3$, on a $\varphi(n)\geq 2$ et $\varphi(n)=2\Leftrightarrow n\in\{3;4;6\}$.