La réciproque de : "une partie connexe par arcs est connexe"

Critere

Bonjour,
L'exemple de la "courbe sinus du topologue" montre admirablement qu'une partie connexe n'est pas obligatoirement connexe par arcs, exemple :
$A = \left\lbrace (x,y) \mid y = \sin \frac{1}{x}, \ x>0 \right\rbrace , \qquad B = A \cup \left\lbrace (0,y) \mid -1 \leq y \leq 1 \right\rbrace, \qquad A, B \subset \mathbb{R}^2,$.
$B$ est connexe car $B = \overline{A}$, mais $B$ est non connexe par arcs (on peut simplement constater ce dernier fait en traçant un graphique).
Une proposition trouvée dans un livre stipule qu' "une partie $B$ connexe est connexe par arc si cette partie $B$ est ouverte".
Je n'arrive pas à comprendre cette proposition. J'explique mon raisonnement et le but de mon post est de trouver ce que je ne comprends pas (probablement une définition que j'ai mal intégrée) afin de résoudre l'absurdité de ce raisonnement:.

- Une partie $B$ connexe implique que $B$ et $\emptyset$ sont les deux seuls ouverts-fermés parmi tous les sous-ensembles de $B$ possibles.

- Donc une partie $B$ connexe est un obligatoirement un ouvert (vu qu'elle est un ouvert-fermé) et donc, selon la proposition, $B$ devrait être connexe par arcs.

- Donc la réciproque de "une partie connexe par arcs est connexe" devrait avoir sa réciproque valable dans tous cas.

- L'exemple en préambule montre la contradiction avec mon raisonnement.

Où est mon erreur ?
Pour information, je ne désire pas obtenir une réponse avec une démonstration, mais avec des notions pas trop poussées de topologie si cela est possible. Je ne suis pas mathématicien, mais physicien et pour moi, les maths sont plus un outil qu'autre chose et je ne suis pas très affuté dans les démonstrations.
Merci d'avance,
C.

Poirot

L'énoncé correct est qu'une partie ouverte de $\mathbb R^n$ qui est connexe est connexe par arcs. Autrement dit, l'adjectif "ouverte" concerne évidemment la topologie "ambiante" et non pas la topologie-trace sur $B$.

Cyrano

L'idée c'est qu'un ouvert de $\R^n$ est localement connexe par arc, i.e. au voisinage de chaque point tu peux prendre une petite boule dans l'ouvert qui est clairement connexe par arc.
Maintenant si ton ouvert est connexe, il n'y a aucune séparation en plusieurs parties. Donc, si tu prends 2 points de ton ouvert, tu peux propager des petites boules pour aller de l'un à l'autre (un peu comme des tâches des peintures qui s'enchainent). Il te suffit alors de construire un chemin passant à travers toutes ces boules pour relier tes 2 points. 

Critere

Merci pour vos réponses.
Venant de regarder ce qu'est la "connexité locale", je remarque que je n'arriverai pas (pour l'instant) à comprendre le commentaire de @Cyrano. Désolé, mais merci beaucoup pour l'effort.
Je vais me pencher plus sur le commentaire de @Poirot, mais pour l'instant, connaissant juste la notion de topologie "induite", je dois creuser ces notions.
Puis-je demander si la topologie-trace est bien ce qu'on appelle la topologie induite?
Par exemple, le fait que l'intervalle $[0, 1/2[$ est un ouvert dans $X = [0,1[ \subset \mathbb{R}$ est dû à l'induction de la topologie de $X$ sur cet intervalle.
Par contre, la notion de topologie ambiante ne me parle pas... une indication?

JLapin

$[0,1[$ n'est pas un ouvert pour la topologie ambiante (ie la plus connue sur $\R$).

$[0,1[$ est un ouvert relatif de $[0,1]$ (pour la topologie trace ou topologie induite).

Poirot

Oui topologie-trace veut dire topologie induite. Topologie ambiante dans mon message veut simplement dire la topologie du $\mathbb R^n$ contenant la partie que l'on regarde.