Collatz rationnel

Boécien

Soit $\eta(x)$ le numérateur d'un rationnel $x$ et $\delta(x)$ le dénominateur (irréductibles). Je définis alors la fonction $T:\mathbb{\mathbb{Q^{\star,+}}\rightarrow Q^{\star,+}}$ par $$T(x)=\frac{\delta(x)}{\eta(x)+1}$$Comment montrer qu'à partir de n'importe quel rationnel $x$ la suite $T^{n}(x)$ rejoint le cycle $\left[\frac{1}{2},1\right]$ où $T^{n}(x)=T\left(T^{n-1}(x)\right)$ ?
Par exemple si $x=\frac{12}{7}$ on obtient pour les itérées $T^{n}(x)$ $$\frac7{13},\ \frac{13}8,\ \frac47,\ \frac75,\ \frac58,\ \frac43,\ \frac35,\ \frac54,\ \frac23,\ 1,\ \frac12,\ 1,\ \frac12,\ldots$$

Dom

Première phrase : « le » dénominateur d’un rationnel. 

Faut-il comprendre qu’il s’agit de la fraction irréductible qui le représente ?

Puis, faut-il « normaliser » le cas des rationnels négatifs (ou les exclure du domaine d’étude). 

Boécien

Merci Dom, j'ai précisé l'énoncé.

Dom

Ok. 

Piètre résultat : si $a/b$ est irréductible et si $b/(a+1)$ est irréductible et si ça cycle, alors on a : $2a=b$. 

Certes j’ai mis des « et si, et si, et si… ». 

Boécien

J'ai pensé y arriver facilement en montrant la décroissance des numérateurs aux indices impairs ou pairs (fonction du départ) mais ce n'est pas toujours vrai.

jandri

Cela peut se démontrer par récurrence sur $n=\delta(x)+\eta(x)$.
On le vérifie pour $n\leq 3$.
Ensuite en partant de $x=\dfrac ab$ avec $a+b=n\geq4$ on arrive toujours à un $x'$ tel que $\delta(x')+\eta(x')<n$ (en étudiant les différents cas selon la parité de $a$ et $b$ ).

Boécien

Merci jandri c'est astucieux.