Utiliser une p-liste

Lolo36

Bonjour
Voici le problème. On a une urne contenant $6$ boules noires et $4$ boules rouges. On effectue successivement $10$ tirages aléatoires avec remise (on tire une boule par tirage et elles sont indiscernables au toucher). Quelle est la probabilité d’obtenir $4$ boules noires et $6$ boules rouges ?

J'ai résolu le problème en utilisant la loi binomiale, pas de souci. J'aimerais le résoudre en utilisant une $p$-liste. On est dans un cas d'équiprobabilité. On cherche le nombre de possibilités de tirer $4$ boules noires à l'issue de $4$ tirages, ce qui vaut $6^4$. De même pour le nombre de possibilités pour tirer $6$ boules rouges à l'issue des $6$ tirages restants, ce qui vaut $4^6$. Le nombre de façons de tirer une boule sur les $10$ tirages est $10^{10}$. Donc normalement la probabilité qu'on cherche est $\mathbb{P}=\frac{6^4\times 4^6}{10^{10}}$ mais ce n'est pas ça. J'ai aussi essayé $\frac{6^4+4^6}{10^{10}}$ mais toujours pas. La probabilité qu'il faut trouver vaut environ $0.1115$.

Quelqu'un peut-il m'éclairer ? Merci d'avance.

JLapin

Numérote les boules de 1 à 6 pour les noires, de 7 à 10 pour les rouges.

Ton problème revient à compter les 10-listes d'entiers entre 1 et 10 tels qu'à exactement 4 emplacements, on trouve un numéro entre 1 et 6.

Tu peux commencer par choisir les emplacements (un binomial va faire son apparition) puis ...

Lolo36

Je vois, il faut en réalité utiliser un artifice (ici le fait de numéroter). Mais pourquoi mes calculs sont faux ?

gerard0

Bonsoir.

"Mais pourquoi mes calculs sont faux ?"

Parce qu'ils ne correspondent pas à la situation. Tu as calculé des probas qui ne parlent pas de tirage de 10 boules avec remise parmi 10 ; tu les tires d'abord parmi 4, puis d'autres parmi 6 autres.

Cordialement.

lourrran

Dans les exercices de dénombrements, c'est toujours utile d'essayer de résoudre des questions un peu plus simples que la question demandée.

Par exemple, quelle est la probabilité de tirer d'abord 4 boules noires, puis 6 boules rouges ?

JLapin

La bonne question c'est "pourquoi seraient-ils justes" ?

Tu n'expliques pas clairement ce que tu comptes.

PetitLutinMalicieux

Bonjour :-)

On reconnait un schéma de Bernoulli. Donc la formule $p_k=C_n^kp^kq^{n-k}$ où $p$ est la probabilité de tirer "boule noire" (0.6), $q$ de tirer "boule rouge", $10$ le nombre d'expériences identiques répétées.

$p_4=C_{10}^40.6^40.4^{10-4}\approx 0.111476736$.

Math Coss

Et, euh, si on ne reconnaît pas ?

PetitLutinMalicieux

Alors tu n'es pas en train de faire des mathématiques.

C'est le fonctionnement de base des maths. On reconnaît des motifs, et on applique des théorèmes comme des raccourcis vers le résultat.

Ici, on recommence n fois une expérience aléatoire identique. C'est un schéma de Bernoulli. Reste à identifier les éléments. D'où mon message.

Math Coss

Qu'est-ce qu'il ne faut pas lire, quand même !