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Polynôme irréductible dans un corps fini

Modifié (28 Apr) dans Algèbre
Bonjour
Un polynôme irréductible de degré 4 sur F2 a une racine dans F16.
Il est donc réductible dans F4 car F16 est une extension de degré 2 de F4.
Dans ce cas comment montrer que ce polynôme est le produit de deux polynômes irréductibles de degré 2 de F4?
Merci de votre aide.

Réponses

  • Modifié (28 Apr)
    Car tout élément de $\mathbb{F}_4\setminus \mathbb{F}_2$ est de degré 2 sur $\mathbb{F}_2$ (son polynôme minimal est de degré 2). Ceci entraîne que ton polynôme irréductible de degré 4 ne peut pas avoir de racines dans $\mathbb{F}_4$ donc il est forcément produit de deux polynômes irréductibles de degré 2.
  • Bonjour Raoul,

    Je te remercie pour ton explication et aussi de tes aides si précieuses que tu m'apportes bien souvent.
  • Modifié (4 May)
    Bonjour
    Merci de me proposer votre aide à partir de la phrase en rouge.
    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
  • Une erreur de ma part a fait que j'aurais dû écrire dés le début:

    Nos nous proposons d'établir qu'il y a six polynômes irréductibles  unitaires de degré 4 de F2 sans passer par l'exploration systématique des 16 polynômes de degré 4 de F2.
  • MrJMrJ
    Modifié (4 May)
    Le polynôme $Q$ est nécessairement un des trois écrits au début.

    Réciproquement, chacun de ces trois polynômes se décompose sur $\mathbb{F}_4$ en un produit de deux polynômes irréductibles de degré $2$ sur $\mathbb{F}_4$. Comme les trois polynômes sont premiers entre eux deux à deux (car ils sont irréductibles sur $\mathbb{F}_2$), leurs facteurs irréductibles sur $\mathbb{F}_4$ fournissent bien 6 polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_2$.
  • Modifié (5 May)
    Merci de ta réponse. 
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