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Une équation symétrique

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Réponses

  • Un triangle scalène, c’est un triangle qui est à l’intérieur des triangles DEK et LEK (en abscisse le grand angle, en ordonnée le petit angle).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour, 
    Je pense que, en classe au collège, lorsqu'on demande aux élève de construire un triangle (pour montrer la propriété sur ses hauteurs par exemple), beaucoup tracent un triangle isocèle ou rectangle,, par habitude des petites classes peut-être, parce que les carreaux sont bien pratiques quand on n'a qu'un morceau de règle... Bref, on veut éviter les cas particuliers. Si ça ne concernait qu'un ou deux élèves, "construire un triangle" suffirait. Mais ce n'est pas le cas, il faut préciser, au moins à l'oral, qu'on veut un triangle ni isocèle, ni rectangle.
    Moi non plus, avant de passer par l'IUFM, je ne connaissais pas "scalène" , et c'est bien pratique de définir scalène par "pas isocèle, pas rectangle". Je m' en passe, mais je comprends les collègues qui l'utilisent. C'est moins embêtant que quelconque. 
  • @nicolas.patrois, que représentent les points A, B, C, F, G, H, I, J dans ta figure ?
  • Modifié (29 Apr)
    Des triangles.
    J’ai emprunté l’idée à Deledicq dans La jubilation mathématique.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Igbinoba a dit :

    (...) autant adopter des expressions telles que : 1) voitures à roues
    2) bateaux flottants
    3) feu brûlant
    🤣
    1) Voiture à bras. (comme tu vois)
    2) Le bateau sur lesquels les sans-gênes se garent devant chez moi.
    3) Feu tricolore.

    Sinon, on peut parler de la droite d'Euler d'un triangle scalène.
    e.v.
  • Les triangles scalènes satisfont à la relation d'Al Kashi : c'est bien une propriété positive, non ?
  • NB: Le langage mathématique permet des négations. Par exemple il y a "$3 \neq 2$", qui est la négation de $3=2$.
  • LEGLEG
    Modifié (29 Apr)
    Bonjour Messieurs les profs
    Triangle quelconque.
    En tant qu'adjectif indéfiniquelconque signifie n'importe quel : Équilatéral ?, isocèle ? Rectangle ? ou scalène ? 
    Chacun de ces quatre triangles est bien défini avec des valeurs particulières.
     En tant qu'adjectif qualificatif
    Tel qu'on peut en trouver partout, sans qualité ou valeur particulière.
    Donc : lorsque l'on parle de triangles quelconques, faudrait il préciser l'adjectif ?
    Or :  scalène , est tout aussi bien défini que les trois autres .
    [" Au 45è congrès de mathématique du Québec dans ""les années 2004"" .
     Il y avait un sujet sur les triangles rectangles ou ("scalénisation") , déduction de scalène ; pour obtenir des scalènes dont l'aire et les côtés sont des entiers non nuls , issu du paramétrage des triplets Pythagoriciens primitif.
    Ainsi que des quadrilatères Héroniens , dus à Héron d'Alexandrie ; dont les côtés , les diagonales et l'aire sont des entiers ; obtenus par la scalénisation :
     Procédé de déduction des triangles scalènes à partir de triangles pythagoriciens, où on se sert des deux paramètres entiers m et n , décrivant les trois côté entiers d'un triangle rectangle (x, y z) "]
    Scalène.
    1. adjectif
      Triangle scalène
      dont les trois côtés sont de longueurs inégales.
    2. adjectif et nom masculin
      ANATOMIE
      Se dit de chacun des trois muscles triangulaires de la partie latérale du cou.
    À VOUS DE JUGER !
    Cordialement.
  • J'avais entendu parler de triangle scalène en 5ème. Isocèle : "aux jambes égales", scalène : "boiteux". Je trouvais pas ça déconnant à l'époque.
  • On trouve partout « scalène = trois côtés de longueurs inégales ». 
    Bon, j’ai dit « partout »…
  • Modifié (29 Apr)
    Je suis comme Chaurien, je n'aime pas ce mot scalène. Et j'aime encore moins le mot 'diophantienne'.
    Et j'aime encore moins quand je vois des gamins qui connaissent utilisent ces mots, mais qui sont incapables de produire le moindre raisonnement mathématique.
    Je me dis de façon très réactionnaire qu'on arrivait à enseigner des tas de choses à des gamins sans utiliser ces mots il y a 40 ans.
    J'imagine un gamin de 13 ans qui va demander de l'aide à ses parents sur un triangle scalène ... les parents n'ont jamais entendu ce mot.  Encore des mots qui ont été introduits dans le vocabulaire scolaire pour être certain que les parents ne puissent pas aider leurs enfants.

    Qu'on enseigne des mots 'compliqués', pourquoi pas, mais il faut un équilibre. Si ces mots savants s'ajoutaient à un savoir faire mathématique, je serais ravi.  Mais ils servent de vernis pour cacher une ignorance dramatique.
  • lourrran : quand on voit tous les mots "inventés" pour les cours de français...
    Pour moi, c'est de la culture, mathématique ou pas. 
  • Modifié (29 Apr)
    On en avait parlé sur le forum déjà mais "quelconque" est un faux adjectif. Il ne dénote aucune propriété. Dans les phrases où il apparaît il sert à abréger en fait une expression quantifiée.
    Par exemple: "un triangle quelconque a ses trois hauteurs concourantes" signifie en réalité: "pour tout triangle, les hauteurs de ce triangle sont concourantes".
    On peut dire "soit T un triangle non rectangle" mais que penser de "soit T un triangle non quelconque"?
    La confusion entre un quantificateur et une propriété/un adjectif est une erreur gravissime de logique. Presque tous les arguments fallacieux prétendant démontrer l'existence de Dieu sont basés sur cette confusion par exemple (ils disent à un moment ou un autre qu' "exister" est une propriété).
    Quand les pédagogues prétendent simplifier l'accès au savoir en masquant délibérément les quantifications, ils provoquent en fait la situation suivante: la première génération de pédagogos qui sait en fait ce qu'elle fait livre des explications tronquées et les générations suivantes d'élèves (parmi lesquelles les futurs profs) se créent une bouillie mentale qu'ils ne comprennent plus et qu'ils transmettent à d'autres élèves.
  • Modifié (29 Apr)
    Je dois corriger une affirmation d'un de mes précédents messages, émise sans vérification. J'ai regardé dans mon « Petit Larousse » de 1952, et dans la planche « Surfaces », il n'y a pas de « triangle scalène ». Ce dictionnaire donne pour « scalène » la définition : « se dit d'un triangle dont les trois côtés sont inégaux », ce qui inclut donc les triangles rectangles non isocèles, comme a dit Rescassol.
     Je sais que j'ai déjà vu cette expression de « triangle scalène »  mais je ne saurais dire où j'ai fait sa connaissance. Je retrouve : M. A. Jully,  Éléments de géométrie expérimentale à l'usage des élèves des cours professionnels et des ouvriers », Belin, 1903. En page 29 : « On appelle triangles scalènes ceux dont les trois côtés et les trois angles sont inégaux ». L'illustre Legendre, dans la douzième édition de ses célèbres Éléments de Géométrie (1823), écrit : « On appelle [...] triangle scalene, celui qui a ses trois côtés inégaux » (l'absence d'accent est d'origine). Quand j'en aurai le loisir je regarderai dans d'autres livres, et chacun peut faire de même.
     Comme j'ai dit, je n'ai pas souvenance d'avoir rencontré ce mot dans mes études quand j'étais élève, ni de l'avoir employé dans mon enseignement quand j'étais professeur. Je précise qu'avant d'être professeur de classe préparatoire, j'ai enseigné durant treize ans dans toutes les classes du secondaire, premier et second cycle comme on disait avant la désastreuse réforme Haby de 1975, et même en collège technique.
     Quand vous définissez un triangle rectangle, isocèle ou équilatéral, vous avez ensuite des propriétés spécifiques de ces sortes de triangles. Mais caractériser ce « triangle sans qualités », pour ainsi dire, est parfaitement inutile, puisqu'il n'a aucune propriété spécifique. Droite d'Euler, loi des sinus ou des cosinus, ce sont des propriétés du triangle quelconque, autrement dit du triangle, tout court. Une fois que ce mot est défini, on n'en parle plus, on peut l'oublier. Alors autant l'oublier tout de suite.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • 1) On n’a pas ajouté des mots et 2) encore moins pour que les élèves ne puissent pas être aidés par les parents (?!???!). 
    Voyons ?!
  • LEGLEG
    Modifié (29 Apr)
    @ Mr Chaurien
     
    [Mais caractériser ce « triangle sans qualités », pour ainsi dire, est parfaitement inutile, puisqu'il n'a aucune propriété spécifique.] ... c'est peut être cela sa propriété spécifique, et c'est pour cette raison que vraisemblablement  il a été nommé scalène ...  

    Je suppose que dans l'histoire des mathématiques , on devrait trouver l'origine du mot scalène... non ?

    Cordialement 
  • Modifié (29 Apr)
    @Foys, je viens de comprendre que ma définition de "R est une relation totale" correspond à ta définition de "la clôture réflexive de R est une relation totale". 😂
    Traduction réussie.

  • scalène vient du latin scalenus qui veut dire boiteux, oblique.
    J'imagine que ces 2 mots 'boiteux' ou 'oblique' ont des origines grecques, et c'est pour ça qu'ils ne ressemblent  pas du tout au mot latin correspondant.
    Mais là où ce mot scalène peut apporter quelque chose, c'est qu'on le retrouve en anatomie, c'est le nom de muscles du cou, des muscles qui ont une forme assez 'boiteuse'.
    Si on fait le rapprochement avec ces muscles, alors bingo, la boucle est bouclée, le gamin a des références concrètes pour justifier/illustrer ce mot scalène.  Et là, je dis bravo au pédagogue qui a choisi d'introduire ce mot dans le vocabulaire mathématique.
    Malheureusement, je suis très sceptique.
  • Oui, on doit pouvoir trouver la trace de ce terme « triangle scalène » dans l'histoire de la géométrie. J'ai donné deux références, dont une n'est pas quelconque, c'est la géométrie de Legendre, qui a marqué le XIXème siècle. On peut continuer la recherche à propos de ce qu'on pourrait appeler, pastichant Musil : Dreieck ohne Eigenschaften. J'ai seulement voulu émettre l'idée que ce terme est inutile, mais rien n'empêche les amoureux de l'inutile d'embêter leurs élèves avec ça, s'ils ne trouvent rien de mieux à faire...
    Il y a quand même quelque chose à dire à propos du triangle quelconque, c'est que quand on veut en tracer un au tableau, on tombe souvent sans le vouloir sur un triangle particulier, à peu près isocèle ou à peu près rectangle. Des esprits curieux se sont ainsi penchés sur la question, et voici deux références :
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • lourrran : mon prof en 5ème nous avait fait le rapprochement isocèle/scalène "jambes égales"/"boîteux". Ca a pris deux minutes dans le cours, aucune trace écrite, aucune application ou propriété particulière, juste deux petites minutes. Moi, je l'ai retenu, je suis peut-être le seul. C'est juste un peu de culture, rien de trop méchant.
  • Et oui, kioups, de la culture. 

    C’est pour cela que je m’étonne, Chaurien, que tu puisses dire « ce terme est inutile, mais rien n'empêche les amoureux de l'inutile d'embêter leurs élèves avec ça, s'ils ne trouvent rien de mieux à faire... »

    Parler d’utile ou d’inutile, quand on parle de vocabulaire… cela m’effraie un peu. 
    Et puis est-ce déclinable pour tout ?
    La culture est « inutile » à certains égards…
  • En tout cas, les amoureux de l'inutile ont bien pourri ce fil, comme tant d'autres.
  • Modifié (29 Apr)
    gai requin : ceci dit, le document qu'a reçu ton fils est assez caractéristique des difficultés que peuvent avoir les élèves en 6ème. Le mot scalène apparait là clairement sur un document et il y a une erreur pour le triangle équilatéral. C'est tout de même un peu beaucoup...
  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour.
    La série \[ \sum _{w=1}^{\infty } \left( \sum _{v=1}^{\infty } \left( \sum _{u=1}^{\infty } \left( a\,t \right) ^{u+v} \left( b\,t \right) ^{v+w} \left( c\,t \right) ^{w+u} \right)  \right)= {\frac {{a}^{2}{b}^{2}{c}^{ 2}\,{t}^{6}}{ \left( 1-c\,a\,{t}^{2} \right)  \left( 1-a\,b\,{t}^{2} \right)  \left( 1-b\,c\,{ t}^{2} \right) }} \] énumère les triangles entiers de périmètre pair, tandis que la série \[ \sum _{w=0}^{\infty } \left( \sum _{v=0}^{\infty } \left( \sum _{u=0}^{\infty } \left( a\,t \right) ^{u+v+1} \left( b\,t \right) ^{v+w+1}  \left( c\,t \right) ^{w+u+1} \right)  \right) ={\frac {abc\,{t}^{3}}{ \left( 1-c\,a\,{t}^{2} \right)  \left( 1-a\,b\,{t}^{2} \right)  \left( 1-b\,c\,{t}^{2} \right) }} \] énumère les triangles entiers de périmètre impair (l'exposant de  $t$ dans ces énumérations indique le périmètre du triangle,  $2p=a+b+c$).
    Quelle serait donc la série génératrice des triangles scalènes ?
    Cordialement, Pierre.
  • Modifié (29 Apr)
    @kioups : Oui, l'erreur mathématique sur le triangle équilatéral nous a occupés 2 messages et le bien-fondé du vocable scalène s'étale sur une trentaine de messages, pour s'achever avec l'incontournable réforme Haby.
    De moins en moins de maths, de plus en plus de propagande.
  • DomDom
    Modifié (29 Apr)
    gai requin : ce sont les amoureux de « l’utile » qui ont pourri ce fil !
    Quant au document, je réitère : sans le quadrillage, aurait-on osé soulever la question ? L’exercice ne contenait-il pas aussi une erreur ?
  • Dom : tout à fait, en CM1, on se contente de vérifier à la règle que les côtés sont de même longueur. Et basta. Là, ça nous choque nous parce qu'on sait. Mais pas du tout le commun des mortels.
    Je fais la "démonstration" en seconde d'ailleurs en "admettant" que, dans un repère orthonormé, tout triangle équilatéral, se ramène par similitude à un triangle de sommets l'origine, A(6;0) et B d'abscisse 3. Et on trouve que l'ordonnée de B n'est pas entière.
  • Modifié (29 Apr)
    Est-ce qu'il faudrait pas mettre ce fil en géométrie ?
    Je ne pense pas qu'il convienne pour "arithmétique".
    Sinon, le problème et sa résolution par @Rescassol sont plutôt captivant je dirais.

    Édit : Si je peux me permettre : pourquoi l'équation de départ définit-elle l'ensemble des triangles équilatéraux du plan complexe ? Réponse sous la forme d'une preuve s'il vous plaît.

    Cordialement 
  • Le problème initial se situe en théorie des nombres.
  • Modifié (29 Apr)
    @gai requin, d'accord oui j'ai failli aussi suggérer de mettre le problème en algèbre, c'est un de ces problèmes qui intéressent plusieurs domaines.

    Sinon, serait-il possible de voir une preuve du fait que l'équation de départ définit l'ensemble des triangles équilatéraux de $\mathbb C$ ?
  • Indication : Si $a,b,c$ sont les affixes de trois sommets d'un triangle équilatéral, trouver une equation du second degré vérifiée par $(b-a)/(c-a)$.
  • @Igbinoba : pour tout triangle équilatéral (on assimile plan et $\C$ dans ce qui suit), il existe deux nombres complexes $x$ et $y$ tels que les sommets du triangle sont $x+y,x+yj$ et $x+yj^2$ où $j=e^{\frac {2\pi i} 3}$.
    On a alors $$(x+y)^2+(x+jy)^2+(x+j^2y)^2 = 3x^2 = (x+y)(x+jy) + (x+jy)(x+j^2y) + (x+j^2y)(x+jy)$$
    La réciproque étant l'objet du début du fil.
  • @Foys : Avec mon indication, on a l'équivalence immédiatement. 
  • Modifié (29 Apr)
    Ton message n'était pas affiché quand j'ai posté le mien (le temps de faire un gribouillis sur une feuille) @gai requin
    EDIT: effectivement ta méthode est plus rapide.
  • Modifié (29 Apr)
    Ok, sur le coup c'est plus la remarque de @Foys qui m'a parlé là.
    En gros $\{x+y*(j,j^2,j^3)\mid x,y\in \mathbb C \}$ est l'ensemble des triangles équilatéraux de $\mathbb C$
    Édit : je vois le lien avec l'arithmétique, et ça me rappelle un truc que j'ai fait il y a plus de dix ans.
  • Modifié (29 Apr)
    gai requin a dit :
    Indication : Si $a,b,c$ sont les affixes de trois sommets d'un triangle équilatéral, trouver une equation du second degré vérifiée par $(b-a)/(c-a)$.
    Je n'obtiens pas de polynôme du second degré mais plutôt ce polynôme là $X^3+1$, et $(b-a)/(c-a)$ devrait être une de ses racines.

    Édit :Là je fais tout mentalement, donc si je fais une erreur, n'hésitez pas à me dire.
    Sinon je ne vois pas de polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$ du second degré dont $(b-a)/(c-a)$ est racine.
  • Une autre façon de dire la même chose: $(a+j\,b+j^2\,c)(a+j\,b+j^2\,c)=0$ où l'un des facteurs caractérise les triangles équilatéraux qui tournent dans un sens, et l'autre facteur caractérise ceux qui tournent dans l'autre sens... A un moment ou un autre, il faut décider si un triangle est un ensemble non ordonné de trois points, ou bien un triplet (ordonné) de points.

    Cordialement, Pierre.
  • Factorise $X^3+1$.
  • Modifié (29 Apr)
    @pldx1 si on veut voir les triangles comme solutions d'équations, il faut les considérer comme des triplets (ordonnés).
  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour,

    Soient $g=\dfrac{a+b+c}{3}$ et $X=\dfrac{b-g}{a-g}$. Alors $X^3-1=\dfrac{9(a - b)( a^2 +b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(b+c-2a)^3}$.
    D'autre part $a^2 +b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+jb+j^2c)(a+j^2b+jc)$  avec $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
    .
    Cordialement,
    Rescassol
     
  • gai requin a dit :
    Factorise $X^3+1$.
    $(X+j)*(X^2-j*X+j^2)$ si je ne me trompes pas.
  • Non, ça se factorise par $X+1$.
  • Modifié (29 Apr)
    gai requin a dit :
    Non, ça se factorise par $X+1$.
    Pas mal, je ne trouve jamais les racines évidentes 🤣, j'ai directement pris $-j$ comme racine ...

    Édit : du coup si on l'écrit de façon scindé, ça devient $(X+j)*(X+j^2)*(X+1)$
  • Bonjour,

    Oui, Gai Requin, mais la factorisation $X^3+1=(X+j)(X^2-jX+j^2)$ est exacte aussi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • J'aurais dû dire de factoriser dans $\Z[X]$.
  • Modifié (29 Apr)
    @gai requin

    Donc le polynôme que tu veux c'est $(X+1)*(X^2-X+1)$ 
    Ok, donc ça fait de $(X^2-X+1)$ un polynôme anulateur de $(b-a)/(c-a)$
  • Tu n'as plus qu'à nous rédiger l'équivalence ;)
  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour,

    N'y aurait il pas confusion entre $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Plus ou moins 😏
  • Ça disparaît dans $\Z[X]$ B)
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