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Une équation symétrique

Trouver tous les $a,b,c\in\Q[i]$ tels que $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$.
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Réponses

  • Modifié (28 Apr)
    Très élégant cet exo. Soit $(a,b,c)$ une solution de l'équation ci-dessus. Une fois qu'on a remarqué que pour tout $k$ dans $\Q[i]$, $(a+k,b+k,c+k)$ est également une solution, les choses vont assez vite je pense: on peut alors supposer sans perte de généralité que $a+b+c=0$, on a alors $3\times 0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) = 3 (ab+bc+ac)$. Donc $a,b,c$ sont les racines du polynôme en $X$: $X^3-abc=0$. Cela entraîne $\{a,b,c\}=\{a,ja,j^2a\}$ et si $a\neq 0$, $j=\frac {ja}a \in \Q[i]$ ce qui est impossible. Donc dans ce cas $a=b=c=0$.
    Plus généralement, les solutions sont tous les triplets $(x,x,x)$ avec $x\in \Q[i]$.
  • Modifié (28 Apr)
    En espérant ne pas passer à côté d'une difficulté : l'équation entraîne $(a+b+c)^2=3(bc+ca+ab)$ et, puisque $3$ est premier dans $\Z[i]$, on en déduit que $3$ divise $a+b+c$. Donc, $a,b$ et $c$ sont solutions d'une équation de la forme $X^3-3qX^2+3q^2X-r=0$, c'est-à-dire $(X-q)^3=r-q^3$.

    Mais $j\not\in\Q(i)$ et donc $r=q^3$ ; de ce fait, $a=b=c$, la réciproque étant claire.

    mais non : j'ai lu trop vite --- c'est $\Q[i]$ !!!
  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour,

    Si on considère $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$ comme une équation du second degré en $a$, on a $\Delta=-3(b-c)^2$ dont la racine carrée ne peut être rationnelle que si $b=c$, donc par permutation circulaire si $a=b=c$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci à tous !
    Cette question est d'inspiration géométrique et c'est assez cocasse de lire les considérations algébriques de @john_john et @Rescassol !
    En effet, pour tous complexes $a,b,c$ deux à deux distincts,$$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\Leftrightarrow a,b,c\text{ sont les affixes de trois sommets d'un triangle équilatéral.}$$En particulier, il n'existe pas de triangle équilatéral à sommets rationnels.
    D'où le $\Q[i]$ john_john. ;)
  • Un bon $\mathbb Q[i]$, c’est important. 
  • Et pourtant, j'avais repéré ce document disponible pour tous les CM1 quand mon fils était dans cette classe.
    Sa maîtresse avait évidemment trouvé trois points du réseau constituant les sommets d'un triangle équilatéral.
    Je lui avais signalé l'impossibilité d'une telle configuration mais je n'ai jamais eu aucun retour.
  • En effet c’est fâcheux. 
    Cela dit, j’en suis persuadé, personne n’y aurait rien trouvé à redire si le réseau avait été masqué…
  • Bonjour,

    Oui, Gai Requin, mais la condition d'équilatéralité n'est connue, et encore, qu'après le bac,
    Il faudrait savoir à quel niveau cette question a été posée.
    D'autre part, je rencontre régulièrement des équations du second degré en géométrie ...  :)

    Cordialement,
    Rescassol

  • J'ai donné cette CNS d'équilatéralité en DST de maths expertes.
  • En plus de tout cela, mon calcul fonctionnait, mais non pas pour la raison que j'avais dite : dans $\Q[i]$ (qui est un corps de caractéristique $\neq3$ :)), on peut toujours décider de mettre $3$ en facteur (et l'énoncé se généralise à d'autres nombres, re- :)).
  • OK @john_john pour le $3$ en facteur.
    Mais quelle serait cette généralisation ?
  • J’ai bon si je montre un triangle rectangle isocèle pour le deuxième réseau ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour, gai requin,

    pas de généralisation en vue ; ce n'était que de l'autodérision pour m'être donné du mal pour justifier la factorisation du $3$ alors que l'anneau de référence était un corps. Dans $\Z[i]$, il eût fallu bosser un peu plus pour factoiser $2$, par exemple.
  • Et à part les carrés, y a-t-il des polygones réguliers à sommets dans $\mathbb Q(i)$ ?
  • Triste nouvelle avec le document de gai requin : le « triangle scalène » est encore en vie en 2022. Pauvres écoliers...
  • Tiens pourquoi ? 
    Ce n’est pas bien d’être « scalène » ?

  • Qu'est-ce au juste qu'un « triangle scalène » ?
  • Bonjour,

    Un triangle scalène est un triangle quelconque, c'est à dire, ni équilatéral, ni rectangle, ni isocèle.
    Il n'a aucune propriété qu'aurait un triangle particulier.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Ha pas pour moi !
    Un triangle scalène est un triangle non isocèle (trois côtés de longueurs distinctes). Par contre il peut être rectangle. 
  • Modifié (28 Apr)
    Vous voyez, c'est un concept inutile, et même dangereux puisque tout le monde n'est pas d'accord sur sa définition.
  • Heu… je connais énormément de « concepts » où il existe des désaccords sur les définitions. 

    Tu es surprenant, Chaurien. 
  • Exemples ?
  • Modifié (28 Apr)
    Et ça ne sert strictement à rien de définir quelque chose par l’absence  de propriétés. Il ne me semble pas avoir vu ce mot dans un programme d'enseignement, jamais depuis soixante ans. J'avais juste vu ce mot dans la page du Petit Larousse que je regardais quand j'étais petit.
  • Ben quoi, on parle bien de corps gauches.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (28 Apr)
    Bonjour,
    Chaurien a dit :
    Et ça ne sert strictement à rien de définir quelque chose par l’absence  de propriétés.
    Alors moi je propose de bannir le terme "infini" puisqu'il est défini par l'absence de la propriété "être fini" (qui est, rappelons-le, "il existe $n\in\Bbb N$, tel que l'ensemble est en bijection avec $\{1,\dots,n\}$"). On est dans de beaux draps comme ça ! :mrgreen:

    Edit : Et puis, pendant qu'on y est, il faut aussi abandonner "indénombrable", "irrationnel", "composé" (c'est le contraire de "premier"), "divergent" (le contraire de "convergent"), "obtus" (ou bien on vire "aigu", mais il faut choisir !), "asymétrique", "indécidable", etc, etc

    Edit 2 : $\Bbb N^*$ corrigé en $\Bbb N$.
  • Les seuls polygones réguliers à coordonnées rationnelles sont des carrés. Ça se démontre à l'aide des polynômes de Tchebycheff.
  • Modifié (28 Apr)
    Il y a des propriétés attachées à « corps gauche » ou « ensemble infini ». Il n'y en a pas pour « triangle scalène ». C'est un anti-concept parfaitement inutile, que je n'ai jamais rencontré, ni comme élève, ni comme professeur. Mais enfin, si vous y tenez, je ne vais pas discuter davantage. Simplement mettez-vous d'accord sur le sort des triangles rectangles...
  • Modifié (28 Apr)
    Il y existe aussi l'expression "triangle quelconque" qui est immédiatement compréhensible, au contraire de "scalène", et qui met bien en valeur toute la richesse de cette passionnante catégorie de triangles... :mrgreen:

    PS. Et ça n'a pas la prétention d'être une notion formelle, bien définie, donc ne pas savoir si les triangles rectangles sont quelconques a peu d'importance (bien que personnellement je dirais qu'ils ne le sont pas).
  • Modifié (28 Apr)
    @Calli, pour le bannissement du prédicat "infini", je dirais que la première définition de ce dernier que j'ai rencontré était : un ensemble $A$ est infini s'il existe $x\in A$ tel que $A$ est en bijection avec $\{z\in A\mid \lnot z=x\}$ .
    Donc je pencherais plus pour qu'on supprime le prédicat "fini" 🤣
    Aussi, l'axiome de l'infini, devrait être renommé "axiome du non fini", ce serait moche comme nom 😅
  • Modifié (28 Apr)
    Mais je voudrais quand même répondre à Calli. Chacun sait que je ne suis pas très calé en matière de fondements, mais sa définition d' « ensemble fini » me semble bien étrange, car elle suppose que soient définis les entiers naturels, qui sont précisément les cardinaux d'ensembles finis. On pourrait donc y voir comme un cercle vicieux.
     Par contre, un ensemble infini a une définition « positive », dirons-nous, c'est un ensemble qui est en bijection avec une de ses parties propres.
  • C’est fin. :)
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (28 Apr)
    @Chaurien
    Cependant l'ensemble des entiers naturels est construit comme l'intersection de la classe des ensembles inductifs. Cette classe (la classes des ensembles inductifs) est non-vide à cause de l'axiome de l'infini qui dit tout simplement que cette classe est non-vide.
    Ce qui me poserait problème ce serait plus le fait de devoir renommer l'axiome de l'infini 😂
    Édit : cependant on voit bien qu'il n'est pas nécessaire de supposer l'axiome de l'infini pour définir le prédicat "infini" (et qu'on n'a pas besoin de passer par le prédicat "fini") tandis qu'on ne peut pas définir l'ensemble des entiers naturels sans l'axiome de l'infini. (J'ai modifié la fin)
  • Modifié (28 Apr)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Aussi, je pense qu'il vaut mieux écrire ceci pour ne pas oublier le cas de l'ensemble vide dans la classe des ensembles finis:
    "il existe $n\in\Bbb N$, tel que l'ensemble est en bijection avec $n$".

    PS : je suis d'accord pour supprimer l'expression "triangle scalene".
  • Bon, je donne quand même ma solution qui est assez différente de celles proposées par @Foys, @Rescassol et @john_john.
    Par l'algorithme de Gauss sur les formes quadratiques, on a, pour tous $a,b,c\in\Q[i]$,$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\left(a-\frac{b+c}2\right)^2+\frac 3 4(b-c)^2.$$Or, $-3$ n'est pas un carré dans $\Q[i]$ donc, si $(a,b,c)$ est solution, alors $b=c$ et $a=\dfrac{b+c}2=b$.
  • Modifié (29 Apr)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Il y a une manière de faire.
    On dit qu'un ensemble $E$ est un ordinal si
    (i) pour tout $x\in E$, $x$ n'appartient pas à $x$
    (ii) pour tous $x,y,z\in E$, si $x\in y$ et si $y\in z$ alors $x\in z$
    (iii) pour tout $x\in E$, $x$ est aussi contenu dans $E$ ($\forall y\in x$, on a $y\in E$)
    (iv) pour toute partie non vide $F$ de $E$, il existe $m\in F$ tel que $m\cap F = \emptyset$ et pour tout $x\in F$, $x=m$ ou $m\in x$.

    (NB: (i), (ii) et (iv) disent que la relation $a\leq b:= a \in b$ ou $a=b$ est un bon ordre sur $E$).

    Plusieurs propriétés simples découlent de cette définition (exo ou bien à admettre pour lire plus vite)
    1°) $\emptyset$ est un ordinal (les énoncés commencent par "quelque soit" et $\emptyset$ ne contient aucune partie non vide)
    2°) pour tout ordinal $X$, $X \cup \{X\}$ est encore un ordinal (appelé "successeur" de $X$). Ainsi $\{\emptyset\}$, $\{\emptyset, \{\emptyset \}\}$ et $\{\{\emptyset, \{\emptyset \}\} , \{ \{\emptyset, \{\emptyset \}\}\}\}$ sont des ordinaux à $1$, $2$ et $3$ éléments respectivement.
    3°) Tous les éléments d'ordinaux sont eux-mêmes des ordinaux.

    Un ordinal vide ou successeur  (d'un autre) et dont tous les éléments sont eux-mêmes vides ou successeurs (édité) s'appelle un nombre entier. Il est possible (mais technique) de montrer que les énoncés suivants sont équivalents (sous les hypothèses de base de ZF sans fondation, choix ou infini):
    A) Il existe un ensemble en bijection avec une de ses parties strictes (un tel ensemble est qualifié parfois d'infini)
    B ) Il existe un ensemble contenant $\emptyset$ et tel que pour tout $y\in E$, $y \cup \{y\} \in E$.
    C) Il existe un ordinal qui n'est successeur d'aucun autre.

    Les énoncés équivalents A,B,C s'appellent "axiome de l'infini", on va les admettre dans la suite.
    L'intersection des ensembles satisfaisant les propriétés décrites au B ) est encore un ensemble satisfaisant ces propriétés et il se trouve que c'est un ordinal non successeur (ainsi on a déjà B => C), c'est même le plus petit ayant cette propriété (il est inclus dans tous les autres l'ayant).
    Cet ordinal se note $\N$ (ou $\omega$ dans la littérature pro) et s'appelle "ensemble des entiers naturels". Les exemples d'ordinaux décrits
    au 2°) ci-dessus sont notés respectivement $1$, $2$ et $3$ et appartiennent à $\N$. On note aussi $0:=\emptyset$. Les propriétés courantes de $\N$ se montrent à partir de ce qui précède (schéma de récurrence etc).
  • Modifié (28 Apr)
    Calli, un  « triangle quelconque », c'est...un triangle, tout simplement. « Scalène » ou « quelconque » sont des mots inutiles.
  • Modifié (28 Apr)
    @Foys
    La définition classique que j'ai pour les ordinaux c'est : ensemble transitif sur lequel la restriction de l'appartenance réalise un bon ordre. 
    Avec ta définition je n'ai pas réussi à montrer que la restriction de l'appartenance est bien une relation totale, c'est peut être moi qui suis en faute, ou c'est peut-être dû à un oubli de ta part (ça arrive souvent quand on écrit vite et long). Pourrais-tu juste vérifier pour voir si il faut rajouter l'hypothèse que la restriction de l'appartenance est une relation totale ou si elle se déduit déjà de ta définition.

    Édit.
    Aussi, aucun ordinal n'a pour éléments que des successeurs sauf l'ensemble vide car il est vide, les autres ordinaux ont l'ensemble vide comme élément donc un élément non successeur.
    Je crois qu'il est nécessaire d'utiliser l'axiome de l'infini, l'axiome du choix est inutile ici (il me semble, mais il faudrait que je refasse la démo pour être sûr).

    Aussi, pourquoi tous les logiciens que je connais interprètent toujours "ordinal successeur"= "ordinal successeur d'un ordinal" alors que "être un ordinal" et "être un ensemble successeur" sont déjà clairement définis et que la classe des ordinaux successeurs c'est justement "être un ordinal et être un ensemble successeur" ? 🤣 Pas besoin de dire qu'il est successeur d'un ordinal 😅
    Cordialement.
  • JLTJLT
    Modifié (28 Apr)
    Je propose la définition suivante. On dit qu'un triangle de côtés $a,b,c$ est générique si pour tout polynôme $f\in \Z[X,Y,Z]\setminus \{0\}$ on a $f(a,b,c)\ne 0$.
    Je pense qu'avec une telle définition on évite tout alignement et toute cocyclicité fortuits de points remarquables, toute concourance fortuite de droites remarquables, etc.
  • DomDom
    Modifié (28 Apr)
    « Quelconque » est à éviter selon moi. C’est plutôt de l’ordre du langage courant.
    - Un rectangle certes mais comment ? 
    - Quelconque. Peu importe.  
    Le terme « scalène » existe. Je ne sais pas ce que signifie « inutile ». Dire qu’il n’est pas essentiel, j’en conviens. Il existe des gens qui ont un dictionnaire très peu fourni. Oseront-ils s’exclamer que les mots utilisés par d’autres sont « inutiles » ?
    Ceci dit, je sais bien qu’un élève du secondaire ferait bien de connaître tout un tas d’autres choses en priorité que le mot « scalène ». J’imagine qu’il y a consensus là-dessus. 
  • Bonsoir,

    Ça me paraît une bonne définition, JLT.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (28 Apr)
    @Igbinoba si $x,y\in E$ alors par iv), il existe $m\in \{x,y\}$ tel que $m \cap \{x,y\}=\emptyset$ et $m\in t$ ou $m=t$ pour tout $t\in \{x,y\}$. Si $m=x$ alors $x=y$ ou $x\in y$. Si $m=y$ alors $y=x$ ou $y\in x$.
    Attention à une chose aussi: ce n'est pas l'appartenance qui est un bon ordre mais la relation  $x,y \mapsto (x\in y \vee x = y)$. Ou alors on parle de "bon ordre strict".
  • Modifié (28 Apr)
    Merci @Foys, j'avais mal lu ta définition. J'avais pas vu le "et $m\in t$ ou $m=t$"
    Édit : ma définition de "bon ordre" c'est "relation bien-fondé et totale", donc pour moi c'est la restriction de l'appartenance qui doit donner un bon ordre.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Modifié (28 Apr)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Comme a dit @Igbinoba, il n'y a pas de souci car les entiers naturels sont définis comme les éléments du plus petit ensemble stable par successeur et contenant 0 (en définissant par exemple le successeur de $x$ par $x\cup\{x\}$, qu'on renote ensuite "$x+1$", et 0 par $0:=\varnothing$). La notion de finitude n'intervient pas dans cette définition, donc pas de cercle vicieux. La définition du cardinal d'un ensemble fini vient après ; c'est l'unique entier $n\in\Bbb N$ tel que l'ensemble est en bijection avec $\{1,\dots,n\}$ (ce qui oblige à démontrer cette unicité, au passage).

    Ah oui, j'ai oublié le cas de l'ensemble vide, tu as raison.
  • Modifié (28 Apr)
    @Dom

    Dire "triangle scalene" est en effet inutile, autant juste dire "triangle". Là je suis d'accord avec @Chaurien, l'expression "scalene" n'apporte rien au langage et elle introduit des possibilités de mauvaises interprétations. Le mieux c'est de faire disparaitre l'expression.

    Édit :Sinon autant adopter des expressions telles que : 1) voitures à roues
    2) bateaux flottants
    3) feu brûlant
    🤣
  • DomDom
    Modifié (28 Apr)
    Non, dire juste « triangle » n’empêche pas l’équilatéral ni les isocèles. 
    Par contre dire « un triangle non isocèle » suffit, j’en conviens. Pas d’inquiétude l’élève demandera « c’est quoi isocèle ? » de toute manière. 
    Par contre je ne comprends cette chasse aux mots. Le mot existe alors il n’est quand même pas une faute de l’utiliser ?!?!?!
    Comme acutangle et obtusangle. 
    Si c’est pour dire « c’est désuet », d’accord mais ça m’amuse selon qui le dit. 
  • Modifié (29 Apr)
    Foys a dit :
    Un ordinal successeur  (d'un autre) et dont tous les éléments sont eux-mêmes successeurs s'appelle un nombre entier
    Je crois que tu voulais écrire ceci.
    "Un ordinal successeur ou vide dont tout élément est successeur ou vide s'appelle un nombre entier."
    Édit : c'est une définition d'entier naturel que je ne connaissais pas.

    @Dom t'es sûr que "scalene" signifie "non-isocele" ? Si oui, alors je trouve que c'est encore plus inutile, en effet dans quelles conditions on aurait besoin de spécifier que le triangle sur lequel on travaille n'est pas isocèle ? Je comprends qu'on spécifie qu'on veut travailler sur un triangle isocèle pour un problème donné, ou qu'on ne donne pas de contraintes particulières sur le triangle, mais qu'on spécifie clairement qu'il n'est pas isocèle...et c'est sensé être une situation assez courante pour mériter un nom ? Je pense que ce genre d'expressions vient d'une époque où le formalisme mathématique était faible, il y a beaucoup de trucs en maths qui sont des héritages d'une époque où les maths n'étaient pas très développées. Juste mon humble opinion.
    Cordialement.
  • DomDom
    Modifié (29 Apr)
    En fait, ça veut dire « quelconque pour les longueurs », c’est tout. Si on veut, c’est « sans symétrie ». 
    Comme évoqué plus haut, ça permet de n’avoir aucune droite remarquable confondue avec une autre par exemple. 
    C’est une manière pédante de réclamer un triangle quelconque. Je veux bien qu’on le dise ainsi.
    Entendons-nous bien, je ne défends pas bec et ongle son utilisation mais je ne comprends pas le débat sur « l’utilité » d’une part puis sur « inutile => on ne doit pas l’utiliser » d’autre part. 
    Je dis juste que si le terme existe il n’est pas à bannir.
  • DomDom
    Modifié (29 Apr)
    Je ne sais pas ce que vaut cette source : http://philoctetes.free.fr/euclide.htm
    on y lit des acceptions anciennes, notamment
    Équilatéral : trois côtés égaux 
    Isocèle : seulement deux côtés égaux 
    Scalène : trois côtés inégaux
    Aujourd’hui, « isocèle » c’est plutôt « au moins deux côtés égaux ». 
    Je lis aussi les mêmes points de vue « excluants » pour les quadrilatères.  
    J’apprends encore que « losange » est ici appelé « rhombe » et que comme « scalène », cela fait référence à des noms de muscles. 
  • Modifié (29 Apr)
    @Chaurien, @JLT : Soit $\mathcal P$ un polygone régulier à $n$ côtés, de centre $\omega$, dont les sommets sont rationnels.
    Il existe deux sommets $a$ et $b$ de $\mathcal P$ tels que $(b-\omega)/(a-\omega)=e^{i\frac{2\pi}n}\in\Q(i)\setminus\Q$.
    Donc $2\cos(2\pi/n)$, de degré $\varphi(n)/2$ sur $\Q$, est dans $\Q$.
    D'où $\varphi(n)=2$ et $n\in\{3,4,6\}$.
    Enfin, si $n\in\{3,6\}$, on a $\Q\big(e^{i\frac{2\pi}n}\big)\cap\Q(i)=\Q$ donc $n=4$.
  • @Igbinoba oui pour successeur ou vide.
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