Intégrales premières

marawita

Bonjour, J'ai une question concernant les intégrales premières. Les équations associées d'un champ de vecteurs $V=\big( 1, y(1-z), z(y-1)\big)$ sont données par : $$dx=\frac{dy}{y(1-z)}=\frac{dz}{z(y-1)}.$$ Je vais déterminer deux intégrales premières différentes. La première est facile, en effet on a $$\frac{dy}{y(1-z)}=\frac{dz}{z(y-1)} \quad\Rightarrow\quad  \frac{y-1}{y}dy=\frac{1-z}{z}dz.$$ En intégrant, on obtient $$y+z-\ln(yz)=c.$$ Donc $u_1=y+z-\ln(yz)$ est une intégrale première. Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'aider à trouver une autre intégrale première ? Merci bien d'avance.

N.B. Une fonction $u\in C^1(\Omega)$ est une intégrale première d'un champ de vecteurs $V$ dans $\Omega$ si, en chaque point de $\Omega$, on a $V\cdot \nabla u= 0$ dans $\Omega$.

math2

Un temps que je n'ai pas pratiqué les EDP linéaires, mais moi je commencerais par chercher $U$ sous la forme $U(x,y,z)=A(x)B(y,z)$ compte tenu de la différence entre ce qui se passe en $x$ et le reste. On a alors naturellement envie de poser $A(x)=e^x$, mais je n'ai pas de souvenir de comment intégrer l'EDP que l'on a en $B$ ; à voir dans des bouquins un peu anciens, il me semble que ce genre d'équations était traitée. Désolé de ne pouvoir t'aider davantage.

Cependant, pour ton IP, moi j'intégrerais en $\ln(|yz|)$, à moins bien entendu que tu sois dans $(\R^+_*)^2$.

EDIT : ajout d'une étoile à $\R$.

marawita

Bonjour
@math2 merci beaucoup pour votre réponse.
Franchement je ne connais pas la méthode que vous avez proposée. 
Pour obtenir une intégrale première,  toujours (d'après ce qu'on a vu) on essaye de séparer deux variables et après intégrer pour obtenir quelque chose qui égale à une constante et qui sera une intégrale première (comme j'ai fait pour trouver une intégrale première).
Pour trouver une autre, d'habitude on essaye de séparer deux autres variables différentes qu'en première étape et intégrer, parfois aussi on utilise le fait que la première quantité qu'on a trouvé est une constante et on écrit une variable en fonction de l'autre et après on la remplace dans l'équation (mais ici par exemple je n'arrive pas à écrire $y=f(z)$).
Autre propriété qu'on utilise si on a
$$ \frac{dx}{P} =\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}$$ alors $$\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}=\frac{adx+bdy+cdz}{aP+bQ+cR},$$ avec $a, b$ et $c$ sont des constantes ou des fonctions en $x, y, z$. 

math2

Ah oui, moi j'écrivais tout simplement que le gradient de $U$ doit être orthogonal au champ.