Chaîne de Markov et construction d'une fonction

matheuxpro

Bonjour

On considère une chaine de Markov $X=(X_k)_k$ irréductible prenant ses valeurs dans un ensemble fini $F$ et de matrices de transition $(P(x,y))_{x,y \in F}.$ Soit $\pi$ une probabilité invariante de $X$ et $h:F \to \mathbb{R}$ une fonction.

Prouver qu'il existe une fonction $f:F \to \mathbb{R}$ telle que $$\forall x \in F,\qquad Pf(x)-f(x)=h(x)-\sum_{y \in F}h(y) \pi(y).$$

Comment faut-il définir ou construire une fonction $f$ avec la propriété ci-dessus ?

Merci.

LOU16

Bonsoir

message modifié à la suite de la réponse de matheuxpro:

Je suppose que $P(x,y)$ désigne la probabilité de passer de l'état $x$ à l'état $y$, et que $Pf\:$ est défini par: $$\: \forall x \in F, \: \: Pf(x) = \displaystyle \sum _{y\in F} P(x,y) f(y).$$

Je note alors $\Phi$ et $\Psi$ les éléments de $\mathcal L(\R^F)$ définis par: $\:\: \forall f \in \R^F, \:\: \Phi(f) = Pf -f, \quad \Psi(f): x \mapsto  f(x) - \displaystyle \sum_{y\in F} f(y) \pi(y).$

La chaîne étant irréductible, $\Phi$ et $\Psi$ sont de rang $\:(\#F) -1,\: $ et avec les relations $\displaystyle \pi(y) =\sum_{x\in F} \pi(x)P(x,y), \quad \sum_{x\in F}\pi(x) =1,$

on obtient: $\quad \text{Im}(\Phi) =\text{Im}(\Psi) =\Big\{ f \in \R^F\mid \displaystyle \sum _{x  \in F}\pi (x) f(x) = 0 \Big \}.\quad$ Ainsi: $\quad \forall h \in \R^F, \ \exists f \in \R^F$ tel que $\Phi(f) = \Psi(h).$

matheuxpro

Dans le cours on définit $Pf$ par $Pf(x)=\sum_{y \in F}P(x,y)f(y)$.

LOU16

Bonjour

 Je me suis en effet emmêlé les pinceaux avec les lignes et les colonnes et ai corrigé mon message.