Convergence d'une suite de VAR indépendantes en probabilité

anymal34

Bonjour

Pour la première question de cet exercice, j’utilise le fait que la convergence en loi d’une suite de variables $( X_{n})$ vers une variable aléatoire $X$ implique que pour tout $t \in [0,1]$, on a pour les fonctions caractéristiques : $\quad F^{X_{n}}(t) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} F^{X}(t).$

La condition de convergence en loi équivaut à la convergence de la suite : $\left( \alpha_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} $ converge vers $\alpha$.
la suite de variable converge vers $X\left(\omega \right)=\alpha \delta_{0}(\omega) + (1- \alpha ) \delta_{1}(\omega).$
Pour la convergence en probabilité, j’écris :$P(\left| X_{n} - X \right| \ge \varepsilon ) \le P( X_{n} \ge \varepsilon; X = 0) = P( X_{n} \ge \varepsilon ) P(X = 0) = ... = \alpha(1- \alpha_{n}-(1- \alpha_{n})\varepsilon^{n} )$
mais cela suppose que $X_{n}$ et $X$ soient indépendantes. Peut-on considérer que c’est le cas ? Si oui, qu’est-ce qui permet de le justifier svp ? Est-il possible de faire autrement (ie sans supposer que les variables $X_n$ et $X$ sont indépendantes) svp ?
Merci pour votre aide

bisam

L'inégalité de Markov (à l'ordre 2) me paraît appropriée. Si je ne m'abuse, on peut tout calculer.

anymal34

Salut et merci pour ta réponse.

Alors pour moi l’inégalité de Markov à l’ordre 2 est $P(\left| X_{n} - X \right| \ge \varepsilon) \le \frac{E(\left| X_{n} - X \right|^{2})}{\varepsilon^{2}}$

Je m’en servirais donc pour montrer que si $\left( \alpha_{n} \right)$ converge vers $\alpha$  et que la partie droite de l’inégalité tend vers 0 lorque n tend vers l’infini alors on a convergence en probabilité.

Pour calculer $E(\left| X_{n} - X \right|^{2}) = E( ( X_{n} - X )^{2}) = E(X^{2}) -2 E(XX_{n}) + E(X_{n}^{2})$

il faut calculer: $E(XX_{n}) = \int_{\Omega}^{} X(\omega)X_{n}(\omega)dP(\omega) = \int_{\mathbb{R}^{2}}^{} xydP^{(X,X_{n})}(x,y)$ et je retombe sur mon problème d’indépendance de X et Xn …

J’ai donc l’impression qu’il est considéré implicitement que X et Xn sont indépendantes. Mais je ne trouve pas de théorème qui dise (Xn) est une suite de variables indépendantes alors la limite est indépendante des variables de la suite.